Theorem peano2nnnn 7815

Description: A successor of a positive integer is a positive integer. This is a counterpart to peano2nn 8890 designed for real number axioms which involve to natural numbers (notably, axcaucvg 7862). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano1nnnn.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Assertion

Ref	Expression
peano2nnnn	|- ( A e. N -> ( A + 1 ) e. N )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   A( x)   N( x, y)

Proof of Theorem peano2nnnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1nnnn.n	. . . . . 6 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2	1	eleq2i 2237	. . . . 5 |- ( A e. N <-> A e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
3		elintg 3839	. . . . 5 |- ( A e. N -> ( A e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z ) )
4	2, 3	syl5bb 191	. . . 4 |- ( A e. N -> ( A e. N <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z ) )
5	4	ibi 175	. . 3 |- ( A e. N -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z )
6		vex 2733	. . . . . . . 8 |- z e. _V
7		eleq2 2234	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( 1 e. x <-> 1 e. z ) )
8		eleq2 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. z ) )
9	8	raleqbi1dv 2673	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
10	7, 9	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) ) )
11	6, 10	elab 2874	. . . . . . 7 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
12	11	simprbi 273	. . . . . 6 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> A. y e. z ( y + 1 ) e. z )
13		oveq1 5860	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( y + 1 ) = ( A + 1 ) )
14	13	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( y + 1 ) e. z <-> ( A + 1 ) e. z ) )
15	14	rspcva 2832	. . . . . 6 |- ( ( A e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) -> ( A + 1 ) e. z )
16	12, 15	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( A e. z /\ z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ) -> ( A + 1 ) e. z )
17	16	expcom 115	. . . 4 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> ( A e. z -> ( A + 1 ) e. z ) )
18	17	ralimia 2531	. . 3 |- ( A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z )
19	5, 18	syl 14	. 2 |- ( A e. N -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z )
20		df-1 7782	. . . . 5 |- 1 = <. 1R , 0R >.
21		1sr 7713	. . . . . 6 |- 1R e. R.
22		0r 7712	. . . . . 6 |- 0R e. R.
23		opexg 4213	. . . . . 6 |- ( ( 1R e. R. /\ 0R e. R. ) -> <. 1R , 0R >. e. _V )
24	21, 22, 23	mp2an 424	. . . . 5 |- <. 1R , 0R >. e. _V
25	20, 24	eqeltri 2243	. . . 4 |- 1 e. _V
26		addvalex 7806	. . . 4 |- ( ( A e. N /\ 1 e. _V ) -> ( A + 1 ) e. _V )
27	25, 26	mpan2 423	. . 3 |- ( A e. N -> ( A + 1 ) e. _V )
28	1	eleq2i 2237	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) e. N <-> ( A + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
29		elintg 3839	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) e. _V -> ( ( A + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
30	28, 29	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( A + 1 ) e. _V -> ( ( A + 1 ) e. N <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
31	27, 30	syl 14	. 2 |- ( A e. N -> ( ( A + 1 ) e. N <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
32	19, 31	mpbird 166	1 |- ( A e. N -> ( A + 1 ) e. N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   _Vcvv 2730   <.cop 3586   |^|cint 3831  (class class class)co 5853   R.cnr 7259   0Rc0r 7260   1Rc1r 7261   1c1 7775   + caddc 7777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-enr 7688  df-nr 7689  df-0r 7693  df-1r 7694  df-c 7780  df-1 7782  df-add 7785

This theorem is referenced by:  nnindnn  7855