ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2nnnn Unicode version

Theorem peano2nnnn 7369
Description: A successor of a positive integer is a positive integer. This is a counterpart to peano2nn 8406 designed for real number axioms which involve to natural numbers (notably, axcaucvg 7414). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
peano1nnnn.n  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Assertion
Ref Expression
peano2nnnn  |-  ( A  e.  N  ->  ( A  +  1 )  e.  N )
Distinct variable groups:    x, y    y, A
Allowed substitution hints:    A( x)    N( x, y)

Proof of Theorem peano2nnnn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1nnnn.n . . . . . 6  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
21eleq2i 2154 . . . . 5  |-  ( A  e.  N  <->  A  e.  |^|
{ x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
3 elintg 3691 . . . . 5  |-  ( A  e.  N  ->  ( A  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } A  e.  z ) )
42, 3syl5bb 190 . . . 4  |-  ( A  e.  N  ->  ( A  e.  N  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } A  e.  z ) )
54ibi 174 . . 3  |-  ( A  e.  N  ->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } A  e.  z )
6 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
7 eleq2 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  z ) )
8 eleq2 2151 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  z ) )
98raleqbi1dv 2570 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
107, 9anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) ) )
116, 10elab 2758 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
1211simprbi 269 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z )
13 oveq1 5641 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
y  +  1 )  =  ( A  + 
1 ) )
1413eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  +  1 )  e.  z  <->  ( A  +  1 )  e.  z ) )
1514rspcva 2720 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z )  -> 
( A  +  1 )  e.  z )
1612, 15sylan2 280 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  z  /\  z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )  ->  ( A  + 
1 )  e.  z )
1716expcom 114 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  ( A  e.  z  ->  ( A  +  1 )  e.  z ) )
1817ralimia 2436 . . 3  |-  ( A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } A  e.  z  ->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( A  +  1 )  e.  z )
195, 18syl 14 . 2  |-  ( A  e.  N  ->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( A  +  1 )  e.  z )
20 df-1 7337 . . . . 5  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
21 1sr 7276 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
22 0r 7275 . . . . . 6  |-  0R  e.  R.
23 opexg 4046 . . . . . 6  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  ->  <. 1R ,  0R >.  e. 
_V )
2421, 22, 23mp2an 417 . . . . 5  |-  <. 1R ,  0R >.  e.  _V
2520, 24eqeltri 2160 . . . 4  |-  1  e.  _V
26 addvalex 7360 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N  /\  1  e.  _V )  ->  ( A  +  1 )  e.  _V )
2725, 26mpan2 416 . . 3  |-  ( A  e.  N  ->  ( A  +  1 )  e.  _V )
281eleq2i 2154 . . . 4  |-  ( ( A  +  1 )  e.  N  <->  ( A  +  1 )  e. 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
29 elintg 3691 . . . 4  |-  ( ( A  +  1 )  e.  _V  ->  (
( A  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( A  +  1 )  e.  z ) )
3028, 29syl5bb 190 . . 3  |-  ( ( A  +  1 )  e.  _V  ->  (
( A  +  1 )  e.  N  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( A  +  1 )  e.  z ) )
3127, 30syl 14 . 2  |-  ( A  e.  N  ->  (
( A  +  1 )  e.  N  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( A  +  1 )  e.  z ) )
3219, 31mpbird 165 1  |-  ( A  e.  N  ->  ( A  +  1 )  e.  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   _Vcvv 2619   <.cop 3444   |^|cint 3683  (class class class)co 5634   R.cnr 6835   0Rc0r 6836   1Rc1r 6837   1c1 7330    + caddc 7332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-0nq0 6964  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004  df-i1p 7005  df-iplp 7006  df-enr 7251  df-nr 7252  df-0r 7256  df-1r 7257  df-c 7335  df-1 7337  df-add 7340
This theorem is referenced by:  nnindnn  7407
  Copyright terms: Public domain W3C validator