ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2nnnn Unicode version

Theorem peano2nnnn 7773
Description: A successor of a positive integer is a positive integer. This is a counterpart to peano2nn 8845 designed for real number axioms which involve to natural numbers (notably, axcaucvg 7820). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
peano1nnnn.n  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Assertion
Ref Expression
peano2nnnn  |-  ( A  e.  N  ->  ( A  +  1 )  e.  N )
Distinct variable groups:    x, y    y, A
Allowed substitution hints:    A( x)    N( x, y)

Proof of Theorem peano2nnnn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1nnnn.n . . . . . 6  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
21eleq2i 2224 . . . . 5  |-  ( A  e.  N  <->  A  e.  |^|
{ x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
3 elintg 3815 . . . . 5  |-  ( A  e.  N  ->  ( A  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } A  e.  z ) )
42, 3syl5bb 191 . . . 4  |-  ( A  e.  N  ->  ( A  e.  N  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } A  e.  z ) )
54ibi 175 . . 3  |-  ( A  e.  N  ->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } A  e.  z )
6 vex 2715 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
7 eleq2 2221 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  z ) )
8 eleq2 2221 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  z ) )
98raleqbi1dv 2660 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
107, 9anbi12d 465 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) ) )
116, 10elab 2856 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
1211simprbi 273 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z )
13 oveq1 5831 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
y  +  1 )  =  ( A  + 
1 ) )
1413eleq1d 2226 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  +  1 )  e.  z  <->  ( A  +  1 )  e.  z ) )
1514rspcva 2814 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z )  -> 
( A  +  1 )  e.  z )
1612, 15sylan2 284 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  z  /\  z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )  ->  ( A  + 
1 )  e.  z )
1716expcom 115 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  ( A  e.  z  ->  ( A  +  1 )  e.  z ) )
1817ralimia 2518 . . 3  |-  ( A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } A  e.  z  ->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( A  +  1 )  e.  z )
195, 18syl 14 . 2  |-  ( A  e.  N  ->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( A  +  1 )  e.  z )
20 df-1 7740 . . . . 5  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
21 1sr 7671 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
22 0r 7670 . . . . . 6  |-  0R  e.  R.
23 opexg 4188 . . . . . 6  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  ->  <. 1R ,  0R >.  e. 
_V )
2421, 22, 23mp2an 423 . . . . 5  |-  <. 1R ,  0R >.  e.  _V
2520, 24eqeltri 2230 . . . 4  |-  1  e.  _V
26 addvalex 7764 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N  /\  1  e.  _V )  ->  ( A  +  1 )  e.  _V )
2725, 26mpan2 422 . . 3  |-  ( A  e.  N  ->  ( A  +  1 )  e.  _V )
281eleq2i 2224 . . . 4  |-  ( ( A  +  1 )  e.  N  <->  ( A  +  1 )  e. 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
29 elintg 3815 . . . 4  |-  ( ( A  +  1 )  e.  _V  ->  (
( A  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( A  +  1 )  e.  z ) )
3028, 29syl5bb 191 . . 3  |-  ( ( A  +  1 )  e.  _V  ->  (
( A  +  1 )  e.  N  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( A  +  1 )  e.  z ) )
3127, 30syl 14 . 2  |-  ( A  e.  N  ->  (
( A  +  1 )  e.  N  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( A  +  1 )  e.  z ) )
3219, 31mpbird 166 1  |-  ( A  e.  N  ->  ( A  +  1 )  e.  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   {cab 2143   A.wral 2435   _Vcvv 2712   <.cop 3563   |^|cint 3807  (class class class)co 5824   R.cnr 7217   0Rc0r 7218   1Rc1r 7219   1c1 7733    + caddc 7735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-lti 7227  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273  df-enq0 7344  df-nq0 7345  df-0nq0 7346  df-plq0 7347  df-mq0 7348  df-inp 7386  df-i1p 7387  df-iplp 7388  df-enr 7646  df-nr 7647  df-0r 7651  df-1r 7652  df-c 7738  df-1 7740  df-add 7743
This theorem is referenced by:  nnindnn  7813
  Copyright terms: Public domain W3C validator