Theorem peano2nnnn 7794

Description: A successor of a positive integer is a positive integer. This is a counterpart to peano2nn 8869 designed for real number axioms which involve to natural numbers (notably, axcaucvg 7841). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano1nnnn.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Assertion

Ref	Expression
peano2nnnn	|- ( A e. N -> ( A + 1 ) e. N )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   A( x)   N( x, y)

Proof of Theorem peano2nnnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1nnnn.n	. . . . . 6 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2	1	eleq2i 2233	. . . . 5 |- ( A e. N <-> A e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
3		elintg 3832	. . . . 5 |- ( A e. N -> ( A e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z ) )
4	2, 3	syl5bb 191	. . . 4 |- ( A e. N -> ( A e. N <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z ) )
5	4	ibi 175	. . 3 |- ( A e. N -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z )
6		vex 2729	. . . . . . . 8 |- z e. _V
7		eleq2 2230	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( 1 e. x <-> 1 e. z ) )
8		eleq2 2230	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. z ) )
9	8	raleqbi1dv 2669	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
10	7, 9	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) ) )
11	6, 10	elab 2870	. . . . . . 7 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
12	11	simprbi 273	. . . . . 6 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> A. y e. z ( y + 1 ) e. z )
13		oveq1 5849	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( y + 1 ) = ( A + 1 ) )
14	13	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( y + 1 ) e. z <-> ( A + 1 ) e. z ) )
15	14	rspcva 2828	. . . . . 6 |- ( ( A e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) -> ( A + 1 ) e. z )
16	12, 15	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( A e. z /\ z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ) -> ( A + 1 ) e. z )
17	16	expcom 115	. . . 4 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> ( A e. z -> ( A + 1 ) e. z ) )
18	17	ralimia 2527	. . 3 |- ( A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z )
19	5, 18	syl 14	. 2 |- ( A e. N -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z )
20		df-1 7761	. . . . 5 |- 1 = <. 1R , 0R >.
21		1sr 7692	. . . . . 6 |- 1R e. R.
22		0r 7691	. . . . . 6 |- 0R e. R.
23		opexg 4206	. . . . . 6 |- ( ( 1R e. R. /\ 0R e. R. ) -> <. 1R , 0R >. e. _V )
24	21, 22, 23	mp2an 423	. . . . 5 |- <. 1R , 0R >. e. _V
25	20, 24	eqeltri 2239	. . . 4 |- 1 e. _V
26		addvalex 7785	. . . 4 |- ( ( A e. N /\ 1 e. _V ) -> ( A + 1 ) e. _V )
27	25, 26	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. N -> ( A + 1 ) e. _V )
28	1	eleq2i 2233	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) e. N <-> ( A + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
29		elintg 3832	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) e. _V -> ( ( A + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
30	28, 29	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( A + 1 ) e. _V -> ( ( A + 1 ) e. N <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
31	27, 30	syl 14	. 2 |- ( A e. N -> ( ( A + 1 ) e. N <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
32	19, 31	mpbird 166	1 |- ( A e. N -> ( A + 1 ) e. N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   _Vcvv 2726   <.cop 3579   |^|cint 3824  (class class class)co 5842   R.cnr 7238   0Rc0r 7239   1Rc1r 7240   1c1 7754   + caddc 7756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-enr 7667  df-nr 7668  df-0r 7672  df-1r 7673  df-c 7759  df-1 7761  df-add 7764

This theorem is referenced by:  nnindnn  7834