ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano1nnnn Unicode version

Theorem peano1nnnn 7680
Description: One is an element of  NN. This is a counterpart to 1nn 8751 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7728). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
peano1nnnn.n  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Assertion
Ref Expression
peano1nnnn  |-  1  e.  N
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    N( x, y)

Proof of Theorem peano1nnnn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1nnnn.n . . . 4  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
21eleq2i 2207 . . 3  |-  ( 1  e.  N  <->  1  e.  |^|
{ x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
3 df-1 7648 . . . . 5  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
4 1sr 7579 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
5 opelreal 7655 . . . . . 6  |-  ( <. 1R ,  0R >.  e.  RR  <->  1R  e.  R. )
64, 5mpbir 145 . . . . 5  |-  <. 1R ,  0R >.  e.  RR
73, 6eqeltri 2213 . . . 4  |-  1  e.  RR
8 elintg 3783 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } 1  e.  z ) )
97, 8ax-mp 5 . . 3  |-  ( 1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. z  e.  {
x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) } 1  e.  z )
102, 9bitri 183 . 2  |-  ( 1  e.  N  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } 1  e.  z )
11 vex 2690 . . . 4  |-  z  e. 
_V
12 eleq2 2204 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  z ) )
13 eleq2 2204 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  z ) )
1413raleqbi1dv 2635 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
1512, 14anbi12d 465 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) ) )
1611, 15elab 2829 . . 3  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
1716simplbi 272 . 2  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  1  e.  z )
1810, 17mprgbir 2491 1  |-  1  e.  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   <.cop 3531   |^|cint 3775  (class class class)co 5778   R.cnr 7125   0Rc0r 7126   1Rc1r 7127   RRcr 7639   1c1 7641    + caddc 7643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-eprel 4215  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-irdg 6271  df-1o 6317  df-2o 6318  df-oadd 6321  df-omul 6322  df-er 6433  df-ec 6435  df-qs 6439  df-ni 7132  df-pli 7133  df-mi 7134  df-lti 7135  df-plpq 7172  df-mpq 7173  df-enq 7175  df-nqqs 7176  df-plqqs 7177  df-mqqs 7178  df-1nqqs 7179  df-rq 7180  df-ltnqqs 7181  df-enq0 7252  df-nq0 7253  df-0nq0 7254  df-plq0 7255  df-mq0 7256  df-inp 7294  df-i1p 7295  df-iplp 7296  df-enr 7554  df-nr 7555  df-0r 7559  df-1r 7560  df-1 7648  df-r 7650
This theorem is referenced by:  nnindnn  7721
  Copyright terms: Public domain W3C validator