Theorem peano1nnnn 7882

Description: One is an element of NN. This is a counterpart to 1nn 8961 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7930). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano1nnnn.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Assertion

Ref	Expression
peano1nnnn	|- 1 e. N

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   N( x, y)

Proof of Theorem peano1nnnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1nnnn.n	. . . 4 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2	1	eleq2i 2256	. . 3 |- ( 1 e. N <-> 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
3		df-1 7850	. . . . 5 |- 1 = <. 1R , 0R >.
4		1sr 7781	. . . . . 6 |- 1R e. R.
5		opelreal 7857	. . . . . 6 |- ( <. 1R , 0R >. e. RR <-> 1R e. R. )
6	4, 5	mpbir 146	. . . . 5 |- <. 1R , 0R >. e. RR
7	3, 6	eqeltri 2262	. . . 4 |- 1 e. RR
8		elintg 3867	. . . 4 |- ( 1 e. RR -> ( 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } 1 e. z ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 |- ( 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } 1 e. z )
10	2, 9	bitri 184	. 2 |- ( 1 e. N <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } 1 e. z )
11		vex 2755	. . . 4 |- z e. _V
12		eleq2 2253	. . . . 5 |- ( x = z -> ( 1 e. x <-> 1 e. z ) )
13		eleq2 2253	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. z ) )
14	13	raleqbi1dv 2694	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
15	12, 14	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = z -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) ) )
16	11, 15	elab 2896	. . 3 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
17	16	simplbi 274	. 2 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> 1 e. z )
18	10, 17	mprgbir 2548	1 |- 1 e. N

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   <.cop 3610   |^|cint 3859  (class class class)co 5897   R.cnr 7327   0Rc0r 7328   1Rc1r 7329   RRcr 7841   1c1 7843   + caddc 7845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-1o 6442  df-2o 6443  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-pli 7335  df-mi 7336  df-lti 7337  df-plpq 7374  df-mpq 7375  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-plqqs 7379  df-mqqs 7380  df-1nqqs 7381  df-rq 7382  df-ltnqqs 7383  df-enq0 7454  df-nq0 7455  df-0nq0 7456  df-plq0 7457  df-mq0 7458  df-inp 7496  df-i1p 7497  df-iplp 7498  df-enr 7756  df-nr 7757  df-0r 7761  df-1r 7762  df-1 7850  df-r 7852

This theorem is referenced by:  nnindnn  7923