Theorem peano1nnnn 7914

Description: One is an element of NN. This is a counterpart to 1nn 8995 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7962). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano1nnnn.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Assertion

Ref	Expression
peano1nnnn	|- 1 e. N

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   N( x, y)

Proof of Theorem peano1nnnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1nnnn.n	. . . 4 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2	1	eleq2i 2260	. . 3 |- ( 1 e. N <-> 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
3		df-1 7882	. . . . 5 |- 1 = <. 1R , 0R >.
4		1sr 7813	. . . . . 6 |- 1R e. R.
5		opelreal 7889	. . . . . 6 |- ( <. 1R , 0R >. e. RR <-> 1R e. R. )
6	4, 5	mpbir 146	. . . . 5 |- <. 1R , 0R >. e. RR
7	3, 6	eqeltri 2266	. . . 4 |- 1 e. RR
8		elintg 3879	. . . 4 |- ( 1 e. RR -> ( 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } 1 e. z ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 |- ( 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } 1 e. z )
10	2, 9	bitri 184	. 2 |- ( 1 e. N <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } 1 e. z )
11		vex 2763	. . . 4 |- z e. _V
12		eleq2 2257	. . . . 5 |- ( x = z -> ( 1 e. x <-> 1 e. z ) )
13		eleq2 2257	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. z ) )
14	13	raleqbi1dv 2702	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
15	12, 14	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = z -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) ) )
16	11, 15	elab 2905	. . 3 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
17	16	simplbi 274	. 2 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> 1 e. z )
18	10, 17	mprgbir 2552	1 |- 1 e. N

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   <.cop 3622   |^|cint 3871  (class class class)co 5919   R.cnr 7359   0Rc0r 7360   1Rc1r 7361   RRcr 7873   1c1 7875   + caddc 7877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-2o 6472  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415  df-enq0 7486  df-nq0 7487  df-0nq0 7488  df-plq0 7489  df-mq0 7490  df-inp 7528  df-i1p 7529  df-iplp 7530  df-enr 7788  df-nr 7789  df-0r 7793  df-1r 7794  df-1 7882  df-r 7884

This theorem is referenced by:  nnindnn  7955