Theorem peano5nnnn 7952

Description: Peano's inductive postulate. This is a counterpart to peano5nni 8985 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7960). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nntopi.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Assertion

Ref	Expression
peano5nnnn	|- ( ( 1 e. A /\ A. z e. A ( z + 1 ) e. A ) -> N C_ A )

Distinct variable groups:   x, y, A   z, A, y

Allowed substitution hints:   N( x, y, z)

Proof of Theorem peano5nnnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5925	. . . 4 |- ( y = z -> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) )
2	1	eleq1d 2262	. . 3 |- ( y = z -> ( ( y + 1 ) e. A <-> ( z + 1 ) e. A ) )
3	2	cbvralv 2726	. 2 |- ( A. y e. A ( y + 1 ) e. A <-> A. z e. A ( z + 1 ) e. A )
4		ax1re 7922	. . . . 5 |- 1 e. RR
5		elin 3342	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( A i^i RR ) <-> ( 1 e. A /\ 1 e. RR ) )
6	5	biimpri 133	. . . . 5 |- ( ( 1 e. A /\ 1 e. RR ) -> 1 e. ( A i^i RR ) )
7	4, 6	mpan2 425	. . . 4 |- ( 1 e. A -> 1 e. ( A i^i RR ) )
8		inss1 3379	. . . . . 6 |- ( A i^i RR ) C_ A
9		ssralv 3243	. . . . . 6 |- ( ( A i^i RR ) C_ A -> ( A. y e. A ( y + 1 ) e. A -> A. y e. ( A i^i RR ) ( y + 1 ) e. A ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( y + 1 ) e. A -> A. y e. ( A i^i RR ) ( y + 1 ) e. A )
11		inss2 3380	. . . . . . . 8 |- ( A i^i RR ) C_ RR
12	11	sseli 3175	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A i^i RR ) -> y e. RR )
13		axaddrcl 7925	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( y + 1 ) e. RR )
14	4, 13	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
15		elin 3342	. . . . . . . 8 |- ( ( y + 1 ) e. ( A i^i RR ) <-> ( ( y + 1 ) e. A /\ ( y + 1 ) e. RR ) )
16	15	simplbi2com 1455	. . . . . . 7 |- ( ( y + 1 ) e. RR -> ( ( y + 1 ) e. A -> ( y + 1 ) e. ( A i^i RR ) ) )
17	12, 14, 16	3syl 17	. . . . . 6 |- ( y e. ( A i^i RR ) -> ( ( y + 1 ) e. A -> ( y + 1 ) e. ( A i^i RR ) ) )
18	17	ralimia 2555	. . . . 5 |- ( A. y e. ( A i^i RR ) ( y + 1 ) e. A -> A. y e. ( A i^i RR ) ( y + 1 ) e. ( A i^i RR ) )
19	10, 18	syl 14	. . . 4 |- ( A. y e. A ( y + 1 ) e. A -> A. y e. ( A i^i RR ) ( y + 1 ) e. ( A i^i RR ) )
20		axcnex 7919	. . . . . . 7 |- CC e. _V
21		axresscn 7920	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
22	20, 21	ssexi 4167	. . . . . 6 |- RR e. _V
23	22	inex2 4164	. . . . 5 |- ( A i^i RR ) e. _V
24		eleq2 2257	. . . . . . . 8 |- ( x = ( A i^i RR ) -> ( 1 e. x <-> 1 e. ( A i^i RR ) ) )
25		eleq2 2257	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A i^i RR ) -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. ( A i^i RR ) ) )
26	25	raleqbi1dv 2702	. . . . . . . 8 |- ( x = ( A i^i RR ) -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. ( A i^i RR ) ( y + 1 ) e. ( A i^i RR ) ) )
27	24, 26	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( x = ( A i^i RR ) -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. ( A i^i RR ) /\ A. y e. ( A i^i RR ) ( y + 1 ) e. ( A i^i RR ) ) ) )
28	27	elabg 2906	. . . . . 6 |- ( ( A i^i RR ) e. _V -> ( ( A i^i RR ) e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( 1 e. ( A i^i RR ) /\ A. y e. ( A i^i RR ) ( y + 1 ) e. ( A i^i RR ) ) ) )
29		nntopi.n	. . . . . . 7 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
30		intss1 3885	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i RR ) e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ ( A i^i RR ) )
31	29, 30	eqsstrid 3225	. . . . . 6 |- ( ( A i^i RR ) e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> N C_ ( A i^i RR ) )
32	28, 31	biimtrrdi 164	. . . . 5 |- ( ( A i^i RR ) e. _V -> ( ( 1 e. ( A i^i RR ) /\ A. y e. ( A i^i RR ) ( y + 1 ) e. ( A i^i RR ) ) -> N C_ ( A i^i RR ) ) )
33	23, 32	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( 1 e. ( A i^i RR ) /\ A. y e. ( A i^i RR ) ( y + 1 ) e. ( A i^i RR ) ) -> N C_ ( A i^i RR ) )
34	7, 19, 33	syl2an 289	. . 3 |- ( ( 1 e. A /\ A. y e. A ( y + 1 ) e. A ) -> N C_ ( A i^i RR ) )
35	34, 8	sstrdi 3191	. 2 |- ( ( 1 e. A /\ A. y e. A ( y + 1 ) e. A ) -> N C_ A )
36	3, 35	sylan2br 288	1 |- ( ( 1 e. A /\ A. z e. A ( z + 1 ) e. A ) -> N C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   _Vcvv 2760   i^i cin 3152   C_ wss 3153   |^|cint 3870  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-i1p 7527  df-iplp 7528  df-enr 7786  df-nr 7787  df-plr 7788  df-0r 7791  df-1r 7792  df-c 7878  df-1 7880  df-r 7882  df-add 7883

This theorem is referenced by:  nnindnn  7953