ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano5nnnn Unicode version

Theorem peano5nnnn 7890
Description: Peano's inductive postulate. This is a counterpart to peano5nni 8920 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7898). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nntopi.n  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Assertion
Ref Expression
peano5nnnn  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. z  e.  A  ( z  +  1 )  e.  A )  ->  N  C_  A )
Distinct variable groups:    x, y, A   
z, A, y
Allowed substitution hints:    N( x, y, z)

Proof of Theorem peano5nnnn
StepHypRef Expression
1 oveq1 5881 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
21eleq1d 2246 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  A  <->  ( z  +  1 )  e.  A ) )
32cbvralv 2703 . 2  |-  ( A. y  e.  A  (
y  +  1 )  e.  A  <->  A. z  e.  A  ( z  +  1 )  e.  A )
4 ax1re 7860 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 elin 3318 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( A  i^i  RR )  <->  ( 1  e.  A  /\  1  e.  RR ) )
65biimpri 133 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  A  /\  1  e.  RR )  ->  1  e.  ( A  i^i  RR ) )
74, 6mpan2 425 . . . 4  |-  ( 1  e.  A  ->  1  e.  ( A  i^i  RR ) )
8 inss1 3355 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  RR )  C_  A
9 ssralv 3219 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  RR ) 
C_  A  ->  ( A. y  e.  A  ( y  +  1 )  e.  A  ->  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  A ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  (
y  +  1 )  e.  A  ->  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  A
)
11 inss2 3356 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  RR )  C_  RR
1211sseli 3151 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  i^i  RR )  ->  y  e.  RR )
13 axaddrcl 7863 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
144, 13mpan2 425 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
15 elin 3318 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR )  <->  ( ( y  +  1 )  e.  A  /\  ( y  +  1 )  e.  RR ) )
1615simplbi2com 1444 . . . . . . 7  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( y  +  1 )  e.  A  -> 
( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) )
1712, 14, 163syl 17 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  i^i  RR )  ->  ( (
y  +  1 )  e.  A  ->  (
y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) )
1817ralimia 2538 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  A  ->  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) )
1910, 18syl 14 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
y  +  1 )  e.  A  ->  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) )
20 axcnex 7857 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
21 axresscn 7858 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
2220, 21ssexi 4141 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
2322inex2 4138 . . . . 5  |-  ( A  i^i  RR )  e. 
_V
24 eleq2 2241 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  i^i  RR )  ->  ( 1  e.  x  <->  1  e.  ( A  i^i  RR ) ) )
25 eleq2 2241 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  i^i  RR )  ->  ( (
y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) )
2625raleqbi1dv 2680 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  i^i  RR )  ->  ( A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) )
2724, 26anbi12d 473 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  i^i  RR )  ->  ( (
1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <->  ( 1  e.  ( A  i^i  RR )  /\  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) ) )
2827elabg 2883 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  RR )  e.  _V  ->  (
( A  i^i  RR )  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  ( 1  e.  ( A  i^i  RR )  /\  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) ) )
29 nntopi.n . . . . . . 7  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
30 intss1 3859 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  RR )  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  ( A  i^i  RR ) )
3129, 30eqsstrid 3201 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  RR )  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  N  C_  ( A  i^i  RR ) )
3228, 31syl6bir 164 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  RR )  e.  _V  ->  (
( 1  e.  ( A  i^i  RR )  /\  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) )  ->  N  C_  ( A  i^i  RR ) ) )
3323, 32ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( A  i^i  RR )  /\  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) )  ->  N  C_  ( A  i^i  RR ) )
347, 19, 33syl2an 289 . . 3  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y  +  1 )  e.  A )  ->  N  C_  ( A  i^i  RR ) )
3534, 8sstrdi 3167 . 2  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y  +  1 )  e.  A )  ->  N  C_  A )
363, 35sylan2br 288 1  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. z  e.  A  ( z  +  1 )  e.  A )  ->  N  C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   _Vcvv 2737    i^i cin 3128    C_ wss 3129   |^|cint 3844  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   1c1 7811    + caddc 7813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-iplp 7466  df-enr 7724  df-nr 7725  df-plr 7726  df-0r 7729  df-1r 7730  df-c 7816  df-1 7818  df-r 7820  df-add 7821
This theorem is referenced by:  nnindnn  7891
  Copyright terms: Public domain W3C validator