ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1nn Unicode version

Theorem 1nn 8699
Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
1nn  |-  1  e.  NN

Proof of Theorem 1nn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfnn2 8690 . . . 4  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
21eleq2i 2184 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  <->  1  e.  |^|
{ x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
3 1re 7733 . . . 4  |-  1  e.  RR
4 elintg 3749 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } 1  e.  z ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( 1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. z  e.  {
x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) } 1  e.  z )
62, 5bitri 183 . 2  |-  ( 1  e.  NN  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } 1  e.  z )
7 vex 2663 . . . 4  |-  z  e. 
_V
8 eleq2 2181 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  z ) )
9 eleq2 2181 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  z ) )
109raleqbi1dv 2611 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
118, 10anbi12d 464 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) ) )
127, 11elab 2802 . . 3  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
1312simplbi 272 . 2  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  1  e.  z )
146, 13mprgbir 2467 1  |-  1  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465   {cab 2103   A.wral 2393   |^|cint 3741  (class class class)co 5742   RRcr 7587   1c1 7589    + caddc 7591   NNcn 8688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-1re 7682
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-v 2662  df-int 3742  df-inn 8689
This theorem is referenced by:  nnind  8704  nn1suc  8707  2nn  8849  1nn0  8961  nn0p1nn  8984  1z  9048  neg1z  9054  elz2  9090  nneoor  9121  9p1e10  9152  indstr  9356  elnn1uz2  9369  zq  9386  qreccl  9402  fz01or  9859  exp3vallem  10262  exp1  10267  nnexpcl  10274  expnbnd  10383  3dec  10429  fac1  10443  faccl  10449  faclbnd3  10457  resqrexlemf1  10748  resqrexlemcalc3  10756  resqrexlemnmsq  10757  resqrexlemnm  10758  resqrexlemcvg  10759  resqrexlemglsq  10762  resqrexlemga  10763  sumsnf  11146  cvgratnnlemnexp  11261  cvgratnnlemfm  11266  cvgratnnlemrate  11267  cvgratnn  11268  eftlub  11323  eirraplem  11410  n2dvds1  11536  ndvdsp1  11556  gcd1  11602  bezoutr1  11648  ncoprmgcdne1b  11697  1nprm  11722  1idssfct  11723  isprm2lem  11724  qden1elz  11810  phicl2  11817  phi1  11822  phiprm  11826  exmidunben  11866  base0  11935  baseval  11938  baseid  11939  basendx  11940  basendxnn  11941  1strstrg  11984  2strstrg  11986  basendxnplusgndx  11992  basendxnmulrndx  12000  rngstrg  12001  lmodstrd  12019  topgrpstrd  12037  setsmsdsg  12576  trilpolemgt1  13159
  Copyright terms: Public domain W3C validator