ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1nn Unicode version

Theorem 1nn 8695
Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
1nn  |-  1  e.  NN

Proof of Theorem 1nn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfnn2 8686 . . . 4  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
21eleq2i 2184 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  <->  1  e.  |^|
{ x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
3 1re 7733 . . . 4  |-  1  e.  RR
4 elintg 3749 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } 1  e.  z ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( 1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. z  e.  {
x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) } 1  e.  z )
62, 5bitri 183 . 2  |-  ( 1  e.  NN  <->  A. z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } 1  e.  z )
7 vex 2663 . . . 4  |-  z  e. 
_V
8 eleq2 2181 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  z ) )
9 eleq2 2181 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  z ) )
109raleqbi1dv 2611 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
118, 10anbi12d 464 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) ) )
127, 11elab 2802 . . 3  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
1312simplbi 272 . 2  |-  ( z  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  1  e.  z )
146, 13mprgbir 2467 1  |-  1  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465   {cab 2103   A.wral 2393   |^|cint 3741  (class class class)co 5742   RRcr 7587   1c1 7589    + caddc 7591   NNcn 8684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-1re 7682
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-v 2662  df-int 3742  df-inn 8685
This theorem is referenced by:  nnind  8700  nn1suc  8703  2nn  8839  1nn0  8951  nn0p1nn  8974  1z  9038  neg1z  9044  elz2  9080  nneoor  9111  9p1e10  9142  indstr  9344  elnn1uz2  9357  zq  9374  qreccl  9390  fz01or  9846  exp3vallem  10249  exp1  10254  nnexpcl  10261  expnbnd  10370  3dec  10416  fac1  10430  faccl  10436  faclbnd3  10444  resqrexlemf1  10735  resqrexlemcalc3  10743  resqrexlemnmsq  10744  resqrexlemnm  10745  resqrexlemcvg  10746  resqrexlemglsq  10749  resqrexlemga  10750  sumsnf  11133  cvgratnnlemnexp  11248  cvgratnnlemfm  11253  cvgratnnlemrate  11254  cvgratnn  11255  eftlub  11310  eirraplem  11395  n2dvds1  11521  ndvdsp1  11541  gcd1  11587  bezoutr1  11633  ncoprmgcdne1b  11682  1nprm  11707  1idssfct  11708  isprm2lem  11709  qden1elz  11794  phicl2  11801  phi1  11806  phiprm  11810  exmidunben  11850  base0  11919  baseval  11922  baseid  11923  basendx  11924  basendxnn  11925  1strstrg  11968  2strstrg  11970  basendxnplusgndx  11976  basendxnmulrndx  11984  rngstrg  11985  lmodstrd  12003  topgrpstrd  12021  setsmsdsg  12560  trilpolemgt1  13128
  Copyright terms: Public domain W3C validator