ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgruledefgg GIF version

Theorem rdgruledefgg 6430
Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
rdgruledefgg ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑔,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑓)   𝐹(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rdgruledefgg
StepHypRef Expression
1 elex 2771 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 funmpt 5293 . . . 4 Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))
3 vex 2763 . . . . 5 𝑓 ∈ V
4 vex 2763 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔 ∈ V
5 vex 2763 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
64, 5fvex 5575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑥) ∈ V
7 funfvex 5572 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑔𝑥) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
87funfni 5355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn V ∧ (𝑔𝑥) ∈ V) → (𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
96, 8mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn V → (𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
109ralrimivw 2568 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn V → ∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
114dmex 4929 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑔 ∈ V
12 iunexg 6173 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V) → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
1311, 12mpan 424 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
1410, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn V → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
15 unexg 4475 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V) → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
1614, 15sylan2 286 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 Fn V) → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
1716ancoms 268 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
1817ralrimivw 2568 . . . . . 6 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑔 ∈ V (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
19 dmmptg 5164 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ V (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V → dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) = V)
2018, 19syl 14 . . . . 5 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) = V)
213, 20eleqtrrid 2283 . . . 4 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑓 ∈ dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
22 funfvex 5572 . . . 4 ((Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ 𝑓 ∈ dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V)
232, 21, 22sylancr 414 . . 3 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V)
2423, 2jctil 312 . 2 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
251, 24sylan2 286 1 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  Vcvv 2760  cun 3152   ciun 3913  cmpt 4091  dom cdm 4660  Fun wfun 5249   Fn wfn 5250  cfv 5255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263
This theorem is referenced by:  rdgruledefg  6431  rdgexggg  6432  rdgifnon  6434  rdgivallem  6436
  Copyright terms: Public domain W3C validator