ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgruledefgg GIF version

Theorem rdgruledefgg 6325
Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
rdgruledefgg ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑔,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑓)   𝐹(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rdgruledefgg
StepHypRef Expression
1 elex 2723 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 funmpt 5211 . . . 4 Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))
3 vex 2715 . . . . 5 𝑓 ∈ V
4 vex 2715 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔 ∈ V
5 vex 2715 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
64, 5fvex 5491 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑥) ∈ V
7 funfvex 5488 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑔𝑥) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
87funfni 5273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn V ∧ (𝑔𝑥) ∈ V) → (𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
96, 8mpan2 422 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn V → (𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
109ralrimivw 2531 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn V → ∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
114dmex 4855 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑔 ∈ V
12 iunexg 6070 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V) → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
1311, 12mpan 421 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
1410, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn V → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
15 unexg 4406 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V) → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
1614, 15sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 Fn V) → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
1716ancoms 266 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
1817ralrimivw 2531 . . . . . 6 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑔 ∈ V (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
19 dmmptg 5086 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ V (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V → dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) = V)
2018, 19syl 14 . . . . 5 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) = V)
213, 20eleqtrrid 2247 . . . 4 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑓 ∈ dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
22 funfvex 5488 . . . 4 ((Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ 𝑓 ∈ dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V)
232, 21, 22sylancr 411 . . 3 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V)
2423, 2jctil 310 . 2 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
251, 24sylan2 284 1 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  Vcvv 2712  cun 3100   ciun 3851  cmpt 4028  dom cdm 4589  Fun wfun 5167   Fn wfn 5168  cfv 5173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181
This theorem is referenced by:  rdgruledefg  6326  rdgexggg  6327  rdgifnon  6329  rdgivallem  6331
  Copyright terms: Public domain W3C validator