Theorem rdgtfr 6264

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgtfr	⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) ∈ V))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑔,𝑧,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rdgtfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		funmpt 5156	. . . 4 ⊢ Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))
3		vex 2684	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
4		vex 2684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑔 ∈ V
5	4	dmex 4800	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom 𝑔 ∈ V
6		vex 2684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	4, 6	fvex 5434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔‘𝑥) ∈ V
8		fveq2 5414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑥) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑔‘𝑥)))
9	8	eleq1d 2206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑥) → ((𝐹‘𝑧) ∈ V ↔ (𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V))
10	7, 9	spcv 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V → (𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V)
11	10	ralrimivw 2504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V → ∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V)
12		iunexg 6010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V)
13	5, 11, 12	sylancr 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V)
14		unexg 4359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V) → (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))) ∈ V)
15	13, 14	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V) → (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))) ∈ V)
16	15	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))) ∈ V)
17	16	ralrimivw 2504	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑔 ∈ V (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))) ∈ V)
18		dmmptg 5031	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ V (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))) ∈ V → dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) = V)
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) = V)
20	3, 19	eleqtrrid 2227	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑓 ∈ dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
21		funfvex 5431	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ 𝑓 ∈ dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) ∈ V)
22	2, 20, 21	sylancr 410	. . 3 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) ∈ V)
23	22, 2	jctil 310	. 2 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
24	1, 23	sylan2 284	1 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∀wal 1329   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  Vcvv 2681   ∪ cun 3064  ∪ ciun 3808   ↦ cmpt 3984  dom cdm 4534  Fun wfun 5112  ‘cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  rdgifnon2  6270