Theorem rdgtfr 6365

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgtfr	⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) ∈ V))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑔,𝑧,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rdgtfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2746	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		funmpt 5246	. . . 4 ⊢ Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))
3		vex 2738	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
4		vex 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑔 ∈ V
5	4	dmex 4886	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom 𝑔 ∈ V
6		vex 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	4, 6	fvex 5527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔‘𝑥) ∈ V
8		fveq2 5507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑥) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑔‘𝑥)))
9	8	eleq1d 2244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑥) → ((𝐹‘𝑧) ∈ V ↔ (𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V))
10	7, 9	spcv 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V → (𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V)
11	10	ralrimivw 2549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V → ∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V)
12		iunexg 6110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V)
13	5, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V)
14		unexg 4437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)) ∈ V) → (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))) ∈ V)
15	13, 14	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V) → (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))) ∈ V)
16	15	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))) ∈ V)
17	16	ralrimivw 2549	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑔 ∈ V (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))) ∈ V)
18		dmmptg 5118	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ V (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))) ∈ V → dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) = V)
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) = V)
20	3, 19	eleqtrrid 2265	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑓 ∈ dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
21		funfvex 5524	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ 𝑓 ∈ dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) ∈ V)
22	2, 20, 21	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) ∈ V)
23	22, 2	jctil 312	. 2 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
24	1, 23	sylan2 286	1 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑓) ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1351   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∀wral 2453  Vcvv 2735   ∪ cun 3125  ∪ ciun 3882   ↦ cmpt 4059  dom cdm 4620  Fun wfun 5202  ‘cfv 5208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216

This theorem is referenced by:  rdgifnon2  6371