Theorem xaddid1 9532

Description: Extended real version of addid1 7817. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddid1	|- ( A e. RR* -> ( A +e 0 ) = A )

Proof of Theorem xaddid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9450	. 2 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
2		0re 7684	. . . . 5 |- 0 e. RR
3		rexadd 9522	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A +e 0 ) = ( A + 0 ) )
4	2, 3	mpan2 419	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A +e 0 ) = ( A + 0 ) )
5		recn 7671	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6	5	addid1d 7828	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A + 0 ) = A )
7	4, 6	eqtrd 2145	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A +e 0 ) = A )
8		0xr 7730	. . . . 5 |- 0 e. RR*
9		renemnf 7732	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> 0 =/= -oo )
10	2, 9	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 =/= -oo
11		xaddpnf2 9517	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 =/= -oo ) -> ( +oo +e 0 ) = +oo )
12	8, 10, 11	mp2an 420	. . . 4 |- ( +oo +e 0 ) = +oo
13		oveq1 5733	. . . 4 |- ( A = +oo -> ( A +e 0 ) = ( +oo +e 0 ) )
14		id 19	. . . 4 |- ( A = +oo -> A = +oo )
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2171	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A +e 0 ) = A )
16		renepnf 7731	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> 0 =/= +oo )
17	2, 16	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 =/= +oo
18		xaddmnf2 9519	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 =/= +oo ) -> ( -oo +e 0 ) = -oo )
19	8, 17, 18	mp2an 420	. . . 4 |- ( -oo +e 0 ) = -oo
20		oveq1 5733	. . . 4 |- ( A = -oo -> ( A +e 0 ) = ( -oo +e 0 ) )
21		id 19	. . . 4 |- ( A = -oo -> A = -oo )
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2171	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A +e 0 ) = A )
23	7, 15, 22	3jaoi 1262	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) -> ( A +e 0 ) = A )
24	1, 23	sylbi 120	1 |- ( A e. RR* -> ( A +e 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 942   = wceq 1312   e. wcel 1461   =/= wne 2280  (class class class)co 5726   RRcr 7540   0cc0 7541   + caddc 7544   +oocpnf 7715   -oocmnf 7716   RR*cxr 7717   +ecxad 9444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1re 7633  ax-addrcl 7636  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-xadd 9447

This theorem is referenced by:  xaddid2  9533  xaddid1d  9534  xnn0xadd0  9537  xpncan  9541  psmetsym  12312  psmetge0  12314  xmetge0  12348  xmetsym  12351