Theorem xaddid1 9984

Description: Extended real version of addrid 8210. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddid1	|- ( A e. RR* -> ( A +e 0 ) = A )

Proof of Theorem xaddid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9898	. 2 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
2		0re 8072	. . . . 5 |- 0 e. RR
3		rexadd 9974	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A +e 0 ) = ( A + 0 ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A +e 0 ) = ( A + 0 ) )
5		recn 8058	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6	5	addridd 8221	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A + 0 ) = A )
7	4, 6	eqtrd 2238	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A +e 0 ) = A )
8		0xr 8119	. . . . 5 |- 0 e. RR*
9		renemnf 8121	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> 0 =/= -oo )
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 =/= -oo
11		xaddpnf2 9969	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 =/= -oo ) -> ( +oo +e 0 ) = +oo )
12	8, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 |- ( +oo +e 0 ) = +oo
13		oveq1 5951	. . . 4 |- ( A = +oo -> ( A +e 0 ) = ( +oo +e 0 ) )
14		id 19	. . . 4 |- ( A = +oo -> A = +oo )
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2264	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A +e 0 ) = A )
16		renepnf 8120	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> 0 =/= +oo )
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 =/= +oo
18		xaddmnf2 9971	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 =/= +oo ) -> ( -oo +e 0 ) = -oo )
19	8, 17, 18	mp2an 426	. . . 4 |- ( -oo +e 0 ) = -oo
20		oveq1 5951	. . . 4 |- ( A = -oo -> ( A +e 0 ) = ( -oo +e 0 ) )
21		id 19	. . . 4 |- ( A = -oo -> A = -oo )
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2264	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A +e 0 ) = A )
23	7, 15, 22	3jaoi 1316	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) -> ( A +e 0 ) = A )
24	1, 23	sylbi 121	1 |- ( A e. RR* -> ( A +e 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376  (class class class)co 5944   RRcr 7924   0cc0 7925   + caddc 7928   +oocpnf 8104   -oocmnf 8105   RR*cxr 8106   +ecxad 9892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-xadd 9895

This theorem is referenced by:  xaddid2  9985  xaddid1d  9986  xnn0xadd0  9989  xpncan  9993  psmetsym  14801  psmetge0  14803  xmetge0  14837  xmetsym  14840