Theorem xaddid1 9759

Description: Extended real version of addid1 8007. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddid1	|- ( A e. RR* -> ( A +e 0 ) = A )

Proof of Theorem xaddid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9676	. 2 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
2		0re 7872	. . . . 5 |- 0 e. RR
3		rexadd 9749	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A +e 0 ) = ( A + 0 ) )
4	2, 3	mpan2 422	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A +e 0 ) = ( A + 0 ) )
5		recn 7859	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6	5	addid1d 8018	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A + 0 ) = A )
7	4, 6	eqtrd 2190	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A +e 0 ) = A )
8		0xr 7918	. . . . 5 |- 0 e. RR*
9		renemnf 7920	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> 0 =/= -oo )
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 =/= -oo
11		xaddpnf2 9744	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 =/= -oo ) -> ( +oo +e 0 ) = +oo )
12	8, 10, 11	mp2an 423	. . . 4 |- ( +oo +e 0 ) = +oo
13		oveq1 5828	. . . 4 |- ( A = +oo -> ( A +e 0 ) = ( +oo +e 0 ) )
14		id 19	. . . 4 |- ( A = +oo -> A = +oo )
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2216	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A +e 0 ) = A )
16		renepnf 7919	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> 0 =/= +oo )
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 =/= +oo
18		xaddmnf2 9746	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 =/= +oo ) -> ( -oo +e 0 ) = -oo )
19	8, 17, 18	mp2an 423	. . . 4 |- ( -oo +e 0 ) = -oo
20		oveq1 5828	. . . 4 |- ( A = -oo -> ( A +e 0 ) = ( -oo +e 0 ) )
21		id 19	. . . 4 |- ( A = -oo -> A = -oo )
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2216	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A +e 0 ) = A )
23	7, 15, 22	3jaoi 1285	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) -> ( A +e 0 ) = A )
24	1, 23	sylbi 120	1 |- ( A e. RR* -> ( A +e 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 962   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327  (class class class)co 5821   RRcr 7725   0cc0 7726   + caddc 7729   +oocpnf 7903   -oocmnf 7904   RR*cxr 7905   +ecxad 9670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1re 7820  ax-addrcl 7823  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-xadd 9673

This theorem is referenced by:  xaddid2  9760  xaddid1d  9761  xnn0xadd0  9764  xpncan  9768  psmetsym  12700  psmetge0  12702  xmetge0  12736  xmetsym  12739