Theorem xaddid1 9937

Description: Extended real version of addrid 8164. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddid1	|- ( A e. RR* -> ( A +e 0 ) = A )

Proof of Theorem xaddid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9851	. 2 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
2		0re 8026	. . . . 5 |- 0 e. RR
3		rexadd 9927	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A +e 0 ) = ( A + 0 ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A +e 0 ) = ( A + 0 ) )
5		recn 8012	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6	5	addridd 8175	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A + 0 ) = A )
7	4, 6	eqtrd 2229	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A +e 0 ) = A )
8		0xr 8073	. . . . 5 |- 0 e. RR*
9		renemnf 8075	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> 0 =/= -oo )
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 =/= -oo
11		xaddpnf2 9922	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 =/= -oo ) -> ( +oo +e 0 ) = +oo )
12	8, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 |- ( +oo +e 0 ) = +oo
13		oveq1 5929	. . . 4 |- ( A = +oo -> ( A +e 0 ) = ( +oo +e 0 ) )
14		id 19	. . . 4 |- ( A = +oo -> A = +oo )
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2255	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A +e 0 ) = A )
16		renepnf 8074	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> 0 =/= +oo )
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 =/= +oo
18		xaddmnf2 9924	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 =/= +oo ) -> ( -oo +e 0 ) = -oo )
19	8, 17, 18	mp2an 426	. . . 4 |- ( -oo +e 0 ) = -oo
20		oveq1 5929	. . . 4 |- ( A = -oo -> ( A +e 0 ) = ( -oo +e 0 ) )
21		id 19	. . . 4 |- ( A = -oo -> A = -oo )
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2255	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A +e 0 ) = A )
23	7, 15, 22	3jaoi 1314	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) -> ( A +e 0 ) = A )
24	1, 23	sylbi 121	1 |- ( A e. RR* -> ( A +e 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   + caddc 7882   +oocpnf 8058   -oocmnf 8059   RR*cxr 8060   +ecxad 9845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-xadd 9848

This theorem is referenced by:  xaddid2  9938  xaddid1d  9939  xnn0xadd0  9942  xpncan  9946  psmetsym  14565  psmetge0  14567  xmetge0  14601  xmetsym  14604