Theorem xrmaxrecl 11145

Description: The maximum of two real numbers is the same when taken as extended reals or as reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxrecl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) = sup ( { A , B } , RR , < ) )

Proof of Theorem xrmaxrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7917	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 7917	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrmaxif 11141	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) = if ( B = +oo , +oo , if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) = if ( B = +oo , +oo , if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) ) )
5		renepnf 7919	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B =/= +oo )
6	5	neneqd 2348	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -. B = +oo )
7	6	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. B = +oo )
8	7	iffalsed 3515	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( B = +oo , +oo , if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) ) = if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) )
9		renemnf 7920	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B =/= -oo )
10	9	neneqd 2348	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -. B = -oo )
11	10	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. B = -oo )
12	11	iffalsed 3515	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) = if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) )
13	4, 8, 12	3eqtrd 2194	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) = if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) )
14		renepnf 7919	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A =/= +oo )
15	14	neneqd 2348	. . . 4 |- ( A e. RR -> -. A = +oo )
16	15	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A = +oo )
17	16	iffalsed 3515	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) = if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) )
18		renemnf 7920	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )
19	18	neneqd 2348	. . . 4 |- ( A e. RR -> -. A = -oo )
20	19	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A = -oo )
21	20	iffalsed 3515	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) = sup ( { A , B } , RR , < ) )
22	13, 17, 21	3eqtrd 2194	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) = sup ( { A , B } , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   ifcif 3505   {cpr 3561   supcsup 6922   RRcr 7725   +oocpnf 7903   -oocmnf 7904   RR*cxr 7905   < clt 7906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-sup 6924  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-rp 9554  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892

This theorem is referenced by:  xrmaxltsup  11148  xrminrecl  11163  xrminrpcl  11164  qtopbas  12893