Theorem xrmaxrecl 11838

Description: The maximum of two real numbers is the same when taken as extended reals or as reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxrecl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) = sup ( { A , B } , RR , < ) )

Proof of Theorem xrmaxrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8230	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8230	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrmaxif 11834	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) = if ( B = +oo , +oo , if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) = if ( B = +oo , +oo , if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) ) )
5		renepnf 8232	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B =/= +oo )
6	5	neneqd 2422	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -. B = +oo )
7	6	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. B = +oo )
8	7	iffalsed 3616	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( B = +oo , +oo , if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) ) = if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) )
9		renemnf 8233	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B =/= -oo )
10	9	neneqd 2422	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -. B = -oo )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. B = -oo )
12	11	iffalsed 3616	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) = if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) )
13	4, 8, 12	3eqtrd 2267	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) = if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) )
14		renepnf 8232	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A =/= +oo )
15	14	neneqd 2422	. . . 4 |- ( A e. RR -> -. A = +oo )
16	15	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A = +oo )
17	16	iffalsed 3616	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) = if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) )
18		renemnf 8233	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )
19	18	neneqd 2422	. . . 4 |- ( A e. RR -> -. A = -oo )
20	19	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A = -oo )
21	20	iffalsed 3616	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) = sup ( { A , B } , RR , < ) )
22	13, 17, 21	3eqtrd 2267	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) = sup ( { A , B } , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   ifcif 3604   {cpr 3671   supcsup 7186   RRcr 8036   +oocpnf 8216   -oocmnf 8217   RR*cxr 8218   < clt 8219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-sup 7188  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-rp 9894  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582

This theorem is referenced by:  xrmaxltsup  11841  xrminrecl  11856  xrminrpcl  11857  qtopbas  15275