ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ressid Unicode version

Theorem ressid 12034
Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ressid.1  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressid  |-  ( W  e.  X  ->  ( Ws  B )  =  W )

Proof of Theorem ressid
StepHypRef Expression
1 ssid 3117 . 2  |-  B  C_  B
2 id 19 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  W  e.  X )
3 ressid.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  W
)
4 baseid 12026 . . . . 5  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
5 basendxnn 12028 . . . . . 6  |-  ( Base `  ndx )  e.  NN
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( W  e.  X  ->  ( Base `  ndx )  e.  NN )
74, 2, 6strnfvnd 11993 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  ( Base `  W )  =  ( W `  ( Base `  ndx ) ) )
8 fvexg 5440 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( Base `  ndx )  e.  NN )  ->  ( W `  ( Base ` 
ndx ) )  e. 
_V )
95, 8mpan2 421 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  ( W `  ( Base ` 
ndx ) )  e. 
_V )
107, 9eqeltrd 2216 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  ( Base `  W )  e. 
_V )
113, 10eqeltrid 2226 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  B  e.  _V )
12 eqid 2139 . . 3  |-  ( Ws  B )  =  ( Ws  B )
1312, 3ressid2 12032 . 2  |-  ( ( B  C_  B  /\  W  e.  X  /\  B  e.  _V )  ->  ( Ws  B )  =  W )
141, 2, 11, 13mp3an2i 1320 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( Ws  B )  =  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686    C_ wss 3071   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   NNcn 8732   ndxcnx 11970   Basecbs 11973   ↾s cress 11974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1re 7726  ax-addrcl 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-inn 8733  df-ndx 11976  df-slot 11977  df-base 11979  df-ress 11981
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator