Theorem ressid 12479

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	|- B = ( Base ` W )

Assertion

Ref	Expression
ressid	|- ( W e. X -> ( W ↾s B ) = W )

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3167	. 2 |- B C_ B
2		id 19	. 2 |- ( W e. X -> W e. X )
3		ressid.1	. . 3 |- B = ( Base ` W )
4		baseid 12469	. . . . 5 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
5		basendxnn 12471	. . . . . 6 |- ( Base ` ndx ) e. NN
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( W e. X -> ( Base ` ndx ) e. NN )
7	4, 2, 6	strnfvnd 12436	. . . 4 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) = ( W ` ( Base ` ndx ) ) )
8		fvexg 5515	. . . . 5 |- ( ( W e. X /\ ( Base ` ndx ) e. NN ) -> ( W ` ( Base ` ndx ) ) e. _V )
9	5, 8	mpan2 423	. . . 4 |- ( W e. X -> ( W ` ( Base ` ndx ) ) e. _V )
10	7, 9	eqeltrd 2247	. . 3 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
11	3, 10	eqeltrid 2257	. 2 |- ( W e. X -> B e. _V )
12		eqid 2170	. . 3 |- ( W ↾s B ) = ( W ↾s B )
13	12, 3	ressid2 12477	. 2 |- ( ( B C_ B /\ W e. X /\ B e. _V ) -> ( W ↾s B ) = W )
14	1, 2, 11, 13	mp3an2i 1337	1 |- ( W e. X -> ( W ↾s B ) = W )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   NNcn 8878   ndxcnx 12413   Basecbs 12416   ↾_s cress 12417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-inn 8879  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-ress 12424

This theorem is referenced by: (None)