Theorem ressid 12059

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	|- B = ( Base ` W )

Assertion

Ref	Expression
ressid	|- ( W e. X -> ( W ↾s B ) = W )

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3122	. 2 |- B C_ B
2		id 19	. 2 |- ( W e. X -> W e. X )
3		ressid.1	. . 3 |- B = ( Base ` W )
4		baseid 12051	. . . . 5 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
5		basendxnn 12053	. . . . . 6 |- ( Base ` ndx ) e. NN
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( W e. X -> ( Base ` ndx ) e. NN )
7	4, 2, 6	strnfvnd 12018	. . . 4 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) = ( W ` ( Base ` ndx ) ) )
8		fvexg 5448	. . . . 5 |- ( ( W e. X /\ ( Base ` ndx ) e. NN ) -> ( W ` ( Base ` ndx ) ) e. _V )
9	5, 8	mpan2 422	. . . 4 |- ( W e. X -> ( W ` ( Base ` ndx ) ) e. _V )
10	7, 9	eqeltrd 2217	. . 3 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
11	3, 10	eqeltrid 2227	. 2 |- ( W e. X -> B e. _V )
12		eqid 2140	. . 3 |- ( W ↾s B ) = ( W ↾s B )
13	12, 3	ressid2 12057	. 2 |- ( ( B C_ B /\ W e. X /\ B e. _V ) -> ( W ↾s B ) = W )
14	1, 2, 11, 13	mp3an2i 1321	1 |- ( W e. X -> ( W ↾s B ) = W )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   NNcn 8744   ndxcnx 11995   Basecbs 11998   ↾_s cress 11999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1re 7738  ax-addrcl 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-inn 8745  df-ndx 12001  df-slot 12002  df-base 12004  df-ress 12006

This theorem is referenced by: (None)