Theorem ressid 11720

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	|- B = ( Base ` W )

Assertion

Ref	Expression
ressid	|- ( W e. X -> ( W ↾s B ) = W )

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3059	. 2 |- B C_ B
2		id 19	. 2 |- ( W e. X -> W e. X )
3		ressid.1	. . 3 |- B = ( Base ` W )
4		baseid 11712	. . . . 5 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
5		basendxnn 11714	. . . . . 6 |- ( Base ` ndx ) e. NN
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( W e. X -> ( Base ` ndx ) e. NN )
7	4, 2, 6	strnfvnd 11679	. . . 4 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) = ( W ` ( Base ` ndx ) ) )
8		fvexg 5359	. . . . 5 |- ( ( W e. X /\ ( Base ` ndx ) e. NN ) -> ( W ` ( Base ` ndx ) ) e. _V )
9	5, 8	mpan2 417	. . . 4 |- ( W e. X -> ( W ` ( Base ` ndx ) ) e. _V )
10	7, 9	eqeltrd 2171	. . 3 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
11	3, 10	syl5eqel 2181	. 2 |- ( W e. X -> B e. _V )
12		eqid 2095	. . 3 |- ( W ↾s B ) = ( W ↾s B )
13	12, 3	ressid2 11718	. 2 |- ( ( B C_ B /\ W e. X /\ B e. _V ) -> ( W ↾s B ) = W )
14	1, 2, 11, 13	mp3an2i 1285	1 |- ( W e. X -> ( W ↾s B ) = W )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1296   e. wcel 1445   _Vcvv 2633   C_ wss 3013   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   NNcn 8520   ndxcnx 11656   Basecbs 11659   ↾_s cress 11660

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1re 7536  ax-addrcl 7539

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-inn 8521  df-ndx 11662  df-slot 11663  df-base 11665  df-ress 11667

This theorem is referenced by: (None)