Theorem ressid 11863

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3083	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		id 19	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ 𝑋)
3		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4		baseid 11855	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		basendxnn 11857	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
7	4, 2, 6	strnfvnd 11822	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑊) = (𝑊‘(Base‘ndx)))
8		fvexg 5394	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ) → (𝑊‘(Base‘ndx)) ∈ V)
9	5, 8	mpan2 419	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊‘(Base‘ndx)) ∈ V)
10	7, 9	eqeltrd 2191	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑊) ∈ V)
11	3, 10	syl5eqel 2201	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ V)
12		eqid 2115	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
13	12, 3	ressid2 11861	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
14	1, 2, 11, 13	mp3an2i 1303	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  Vcvv 2657   ⊆ wss 3037  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728  ℕcn 8630  ndxcnx 11799  Basecbs 11802   ↾_s cress 11803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1re 7639  ax-addrcl 7642

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-inn 8631  df-ndx 11805  df-slot 11806  df-base 11808  df-ress 11810

This theorem is referenced by: (None)