Theorem ressid 12020

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3117	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		id 19	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ 𝑋)
3		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4		baseid 12012	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		basendxnn 12014	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
7	4, 2, 6	strnfvnd 11979	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑊) = (𝑊‘(Base‘ndx)))
8		fvexg 5440	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ) → (𝑊‘(Base‘ndx)) ∈ V)
9	5, 8	mpan2 421	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊‘(Base‘ndx)) ∈ V)
10	7, 9	eqeltrd 2216	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑊) ∈ V)
11	3, 10	eqeltrid 2226	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ V)
12		eqid 2139	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
13	12, 3	ressid2 12018	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
14	1, 2, 11, 13	mp3an2i 1320	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℕcn 8720  ndxcnx 11956  Basecbs 11959   ↾_s cress 11960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-inn 8721  df-ndx 11962  df-slot 11963  df-base 11965  df-ress 11967

This theorem is referenced by: (None)