Theorem ressid 12456

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3162	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		id 19	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ 𝑋)
3		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4		baseid 12447	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		basendxnn 12449	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
7	4, 2, 6	strnfvnd 12414	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑊) = (𝑊‘(Base‘ndx)))
8		fvexg 5505	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ) → (𝑊‘(Base‘ndx)) ∈ V)
9	5, 8	mpan2 422	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊‘(Base‘ndx)) ∈ V)
10	7, 9	eqeltrd 2243	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑊) ∈ V)
11	3, 10	eqeltrid 2253	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ V)
12		eqid 2165	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
13	12, 3	ressid2 12454	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
14	1, 2, 11, 13	mp3an2i 1332	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℕcn 8857  ndxcnx 12391  Basecbs 12394   ↾_s cress 12395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-inn 8858  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400  df-ress 12402

This theorem is referenced by: (None)