Theorem restopn2 14699

Description: If 𝐴 is open, then 𝐵 is open in 𝐴 iff it is an open subset of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restopn2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Proof of Theorem restopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3880	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		elssuni 3880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	restuni 14688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
5	2, 4	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
6	5	sseq2d 3224	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)))
7	1, 6	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
8	7	pm4.71rd 394	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
9		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐽)
11		ssidd 3215	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
12		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13		restopnb 14697	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
14	9, 10, 10, 11, 12, 13	syl23anc 1257	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
15	14	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
16	8, 15	bitr4d 191	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽)))
17		ancom 266	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) ↔ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
18	16, 17	bitrdi 196	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3167  ∪ cuni 3852  (class class class)co 5951   ↾_t crest 13115  Topctop 14513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-rest 13117  df-topgen 13136  df-top 14514  df-topon 14527  df-bases 14559

This theorem is referenced by:  restdis  14700