Theorem rngabl 13938

Description: A non-unital ring is an (additive) abelian group. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rngabl	⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)

Proof of Theorem rngabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2229	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isrng 13937	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1036	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072  +_gcplusg 13150  ._rcmulr 13151  Smgrpcsgrp 13474  Abelcabl 13862  mulGrpcmgp 13923  Rngcrng 13935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-rng 13936

This theorem is referenced by:  rnggrp  13941  rnglz  13948  rngansg  13953  rngressid  13957  imasrng  13959  opprrng  14080  subrngringnsg  14209  issubrng2  14214  rnglidlrng  14502  2idlcpblrng  14527  qus2idrng  14529