Theorem rngabl 14318

Description: A non-unital ring is an (additive) abelian group. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rngabl	⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)

Proof of Theorem rngabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isrng 14317	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1043	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13404  +_gcplusg 13484  ._rcmulr 13485  Smgrpcsgrp 13769  Abelcabl 14172  mulGrpcmgp 14301  Rngcrng 14315

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-rng 14316

This theorem is used by:  rnggrp  14321  rnglz  14328  rngansg  14333  rngressid  14337  imasrng  14339  opprrng  14466  subrngringnsg  14597  issubrng2  14602  rnglidlrng  14919  2idlcpblrng  14944  qus2idrng  14946