Theorem rngabl 13639

Description: A non-unital ring is an (additive) abelian group. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rngabl	⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)

Proof of Theorem rngabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2204	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2204	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2204	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isrng 13638	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1014	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  Basecbs 12774  +_gcplusg 12851  ._rcmulr 12852  Smgrpcsgrp 13175  Abelcabl 13563  mulGrpcmgp 13624  Rngcrng 13636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-rng 13637

This theorem is referenced by:  rnggrp  13642  rnglz  13649  rngansg  13654  rngressid  13658  imasrng  13660  opprrng  13781  subrngringnsg  13909  issubrng2  13914  rnglidlrng  14202  2idlcpblrng  14227  qus2idrng  14229