Theorem scandxnbasendx 12928

Description: The slot for the scalar is not the slot for the base set in an extensible structure. (Contributed by AV, 21-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
scandxnbasendx	|- (Scalar ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )

Proof of Theorem scandxnbasendx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8070	. . 3 |- 1 e. RR
2		1lt5 9214	. . 3 |- 1 < 5
3	1, 2	gtneii 8167	. 2 |- 5 =/= 1
4		scandx 12925	. . 3 |- (Scalar ` ndx ) = 5
5		basendx 12829	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
6	4, 5	neeq12i 2392	. 2 |- ( (Scalar ` ndx ) =/= ( Base ` ndx ) <-> 5 =/= 1 )
7	3, 6	mpbir 146	1 |- (Scalar ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2375   ` cfv 5270   1c1 7925   5c5 9089   ndxcnx 12771   Basecbs 12774  Scalarcsca 12854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-ov 5946  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sca 12867

This theorem is referenced by:  ressscag  12957  srabaseg  14143  zlmbasg  14333