Theorem ressscag 12687

Description: Scalar is unaffected by restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssca.1	|- H = ( G ↾s A )
resssca.2	|- F = (Scalar ` G )

Assertion

Ref	Expression
ressscag	|- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> F = (Scalar ` H ) )

Proof of Theorem ressscag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resssca.1	. 2 |- H = ( G ↾s A )
2		resssca.2	. 2 |- F = (Scalar ` G )
3		scaslid 12657	. 2 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
4		scandxnbasendx 12658	. 2 |- (Scalar ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
5		simpl 109	. 2 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> G e. X )
6		simpr 110	. 2 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> A e. V )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	resseqnbasd 12578	1 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> F = (Scalar ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   ↾_s cress 12508  Scalarcsca 12585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-sets 12514  df-iress 12515  df-sca 12598

This theorem is referenced by:  islss3  13688