Theorem ressscag 13517

Description: Scalar is unaffected by restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssca.1	|- H = ( G ↾s A )
resssca.2	|- F = (Scalar ` G )

Assertion

Ref	Expression
ressscag	|- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> F = (Scalar ` H ) )

Proof of Theorem ressscag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resssca.1	. 2 |- H = ( G ↾s A )
2		resssca.2	. 2 |- F = (Scalar ` G )
3		scaslid 13487	. 2 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
4		scandxnbasendx 13488	. 2 |- (Scalar ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
5		simpl 109	. 2 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> G e. X )
6		simpr 110	. 2 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> A e. V )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	resseqnbasd 13407	1 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> F = (Scalar ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   ↾_s cress 13334  Scalarcsca 13414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-ltxr 8358  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-5 9348  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-iress 13341  df-sca 13427

This theorem is referenced by:  islss3  14691