Theorem scandxnbasendx 13030

Description: The slot for the scalar is not the slot for the base set in an extensible structure. (Contributed by AV, 21-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
scandxnbasendx	⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx)

Proof of Theorem scandxnbasendx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8078	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		1lt5 9222	. . 3 ⊢ 1 < 5
3	1, 2	gtneii 8175	. 2 ⊢ 5 ≠ 1
4		scandx 13027	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
5		basendx 12931	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
6	4, 5	neeq12i 2394	. 2 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ↔ 5 ≠ 1)
7	3, 6	mpbir 146	1 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2377  ‘cfv 5276  1c1 7933  5c5 9097  ndxcnx 12873  Basecbs 12876  Scalarcsca 12956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-ov 5954  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sca 12969

This theorem is referenced by:  ressscag  13059  srabaseg  14245  zlmbasg  14435