Theorem scandxnbasendx 13153

Description: The slot for the scalar is not the slot for the base set in an extensible structure. (Contributed by AV, 21-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
scandxnbasendx	⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx)

Proof of Theorem scandxnbasendx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8113	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		1lt5 9257	. . 3 ⊢ 1 < 5
3	1, 2	gtneii 8210	. 2 ⊢ 5 ≠ 1
4		scandx 13150	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
5		basendx 13053	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
6	4, 5	neeq12i 2397	. 2 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ↔ 5 ≠ 1)
7	3, 6	mpbir 146	1 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2380  ‘cfv 5294  1c1 7968  5c5 9132  ndxcnx 12995  Basecbs 12998  Scalarcsca 13079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-ov 5977  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sca 13092

This theorem is referenced by:  ressscag  13182  srabaseg  14368  zlmbasg  14558