Theorem scandxnbasendx 13359

Description: The slot for the scalar is not the slot for the base set in an extensible structure. (Contributed by AV, 21-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
scandxnbasendx	⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx)

Proof of Theorem scandxnbasendx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8272	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		1lt5 9415	. . 3 ⊢ 1 < 5
3	1, 2	gtneii 8368	. 2 ⊢ 5 ≠ 1
4		scandx 13356	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
5		basendx 13259	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
6	4, 5	neeq12i 2429	. 2 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ↔ 5 ≠ 1)
7	3, 6	mpbir 146	1 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2412  ‘cfv 5351  1c1 8127  5c5 9290  ndxcnx 13201  Basecbs 13204  Scalarcsca 13285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-ov 6052  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sca 13298

This theorem is referenced by:  ressscag  13388  srabaseg  14579  zlmbasg  14769