Theorem snopfsuppdc 7265

Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snopfsuppdc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
snopfsuppdc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
snopfsuppdc.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
snopfsuppdc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝑌 = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
snopfsuppdc	⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Proof of Theorem snopfsuppdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snopfsuppdc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		snopfsuppdc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
3		opexg 4349	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V)
5		snexg 4302	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
7		snopfsuppdc.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
8		funsng 5407	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
9	1, 2, 8	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
10		eqid 2234	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
11		snopfsuppdc.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑌 = 𝑍)
12	10, 1, 2, 7, 11	suppsnopdc 6463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) = if(𝑌 = 𝑍, ∅, {𝑋}))
13		0fi 7154	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
15		snfig 7069	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ∈ Fin)
16	1, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ Fin)
17	14, 16, 11	ifcldcd 3664	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑌 = 𝑍, ∅, {𝑋}) ∈ Fin)
18	12, 17	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
19	6, 7, 9, 18	isfsuppd 7256	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ∅c0 3512  ifcif 3624  {csn 3694  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  Fun wfun 5351  (class class class)co 6058   supp csupp 6448  Fincfn 6988   finSupp cfsupp 7251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-supp 6449  df-1o 6660  df-en 6989  df-fin 6991  df-fsupp 7252

This theorem is referenced by: (None)