Theorem snopfsuppdc 7252

Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snopfsuppdc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
snopfsuppdc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
snopfsuppdc.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
snopfsuppdc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝑌 = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
snopfsuppdc	⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Proof of Theorem snopfsuppdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snopfsuppdc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		snopfsuppdc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
3		opexg 4344	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V)
5		snexg 4297	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
7		snopfsuppdc.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
8		funsng 5402	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
9	1, 2, 8	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
10		eqid 2232	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
11		snopfsuppdc.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑌 = 𝑍)
12	10, 1, 2, 7, 11	suppsnopdc 6450	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) = if(𝑌 = 𝑍, ∅, {𝑋}))
13		0fi 7141	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
15		snfig 7056	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ∈ Fin)
16	1, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ Fin)
17	14, 16, 11	ifcldcd 3660	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑌 = 𝑍, ∅, {𝑋}) ∈ Fin)
18	12, 17	eqeltrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
19	6, 7, 9, 18	isfsuppd 7243	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ∅c0 3508  ifcif 3620  {csn 3689  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109  Fun wfun 5346  (class class class)co 6050   supp csupp 6435  Fincfn 6975   finSupp cfsupp 7238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-supp 6436  df-1o 6647  df-en 6976  df-fin 6978  df-fsupp 7239

This theorem is referenced by: (None)