Theorem snopfsuppdc 7289

Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snopfsuppdc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
snopfsuppdc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
snopfsuppdc.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
snopfsuppdc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝑌 = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
snopfsuppdc	⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Proof of Theorem snopfsuppdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snopfsuppdc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		snopfsuppdc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
3		opexg 4363	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V)
5		snexg 4316	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ V → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
7		snopfsuppdc.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
8		funsng 5422	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
9	1, 2, 8	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
10		eqid 2238	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
11		snopfsuppdc.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑌 = 𝑍)
12	10, 1, 2, 7, 11	suppsnopdc 6480	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) = if(𝑌 = 𝑍, ∅, {𝑋}))
13		0fi 7178	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
15		snfig 7093	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ∈ Fin)
16	1, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ Fin)
17	14, 16, 11	ifcldcd 3675	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑌 = 𝑍, ∅, {𝑋}) ∈ Fin)
18	12, 17	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
19	6, 7, 9, 18	isfsuppd 7280	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ifcif 3635  {csn 3705  ⟨cop 3708   class class class wbr 4125  Fun wfun 5366  (class class class)co 6075   supp csupp 6465  Fincfn 7012   finSupp cfsupp 7275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-supp 6466  df-1o 6677  df-en 7013  df-fin 7015  df-fsupp 7276

This theorem is referenced by: (None)