Theorem srgcl 13928

Description: Closure of the multiplication operation of a semiring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgcl.b	|- B = ( Base ` R )
srgcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgcl	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof of Theorem srgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . 5 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	srgmgp 13926	. . . 4 |- ( R e. SRing -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3	2	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
4		simp2 1022	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
5		srgcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
6	1, 5	mgpbasg 13884	. . . . 5 |- ( R e. SRing -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	6	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
8	4, 7	eleqtrd 2308	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
9		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
10	9, 7	eleqtrd 2308	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
12		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` R ) ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
13	11, 12	mndcl 13451	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) /\ Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
14	3, 8, 10, 13	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
15		srgcl.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
16	1, 15	mgpplusgg 13882	. . . 4 |- ( R e. SRing -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
17	16	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
18	17	oveqd 6017	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
19	14, 18, 7	3eltr4d 2313	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   .rcmulr 13106   Mndcmnd 13444  mulGrpcmgp 13878  SRingcsrg 13921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-mgp 13879  df-srg 13922

This theorem is referenced by:  srgfcl  13931  srgmulgass  13947  srgpcomppsc  13950  srglmhm  13951  srgrmhm  13952  reldvdsrsrg  14050  dvdsrvald  14051  dvdsrd  14052  dvdsrex  14056