Theorem srgcl 13732

Description: Closure of the multiplication operation of a semiring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgcl.b	|- B = ( Base ` R )
srgcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgcl	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof of Theorem srgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . . . 5 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	srgmgp 13730	. . . 4 |- ( R e. SRing -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3	2	3ad2ant1 1021	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
4		simp2 1001	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
5		srgcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
6	1, 5	mgpbasg 13688	. . . . 5 |- ( R e. SRing -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	6	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
8	4, 7	eleqtrd 2284	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
9		simp3 1002	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
10	9, 7	eleqtrd 2284	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11		eqid 2205	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
12		eqid 2205	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` R ) ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
13	11, 12	mndcl 13255	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) /\ Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
14	3, 8, 10, 13	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
15		srgcl.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
16	1, 15	mgpplusgg 13686	. . . 4 |- ( R e. SRing -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
17	16	3ad2ant1 1021	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
18	17	oveqd 5961	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
19	14, 18, 7	3eltr4d 2289	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   .rcmulr 12910   Mndcmnd 13248  mulGrpcmgp 13682  SRingcsrg 13725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-mgp 13683  df-srg 13726

This theorem is referenced by:  srgfcl  13735  srgmulgass  13751  srgpcomppsc  13754  srglmhm  13755  srgrmhm  13756  reldvdsrsrg  13854  dvdsrvald  13855  dvdsrd  13856  dvdsrex  13860