Theorem srgcl 13536

Description: Closure of the multiplication operation of a semiring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgcl.b	|- B = ( Base ` R )
srgcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgcl	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof of Theorem srgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . . 5 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	srgmgp 13534	. . . 4 |- ( R e. SRing -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3	2	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
4		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
5		srgcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
6	1, 5	mgpbasg 13492	. . . . 5 |- ( R e. SRing -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	6	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
8	4, 7	eleqtrd 2275	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
9		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
10	9, 7	eleqtrd 2275	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
12		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` R ) ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
13	11, 12	mndcl 13074	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) /\ Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
14	3, 8, 10, 13	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
15		srgcl.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
16	1, 15	mgpplusgg 13490	. . . 4 |- ( R e. SRing -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
17	16	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
18	17	oveqd 5940	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
19	14, 18, 7	3eltr4d 2280	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Basecbs 12688   +g cplusg 12765   .rcmulr 12766   Mndcmnd 13067  mulGrpcmgp 13486  SRingcsrg 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-mgp 13487  df-srg 13530

This theorem is referenced by:  srgfcl  13539  srgmulgass  13555  srgpcomppsc  13558  srglmhm  13559  srgrmhm  13560  reldvdsrsrg  13658  dvdsrvald  13659  dvdsrd  13660  dvdsrex  13664