Theorem srgdilem 13702

Description: Lemma for srgdi 13707 and srgdir 13708. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgdilem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgdilem.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgdilem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgdilem	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))

Proof of Theorem srgdilem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgdilem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		srgdilem.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		srgdilem.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		eqid 2204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 13698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ SRing ↔ (𝑅 ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅) · 𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))))
7	6	simp3bi 1016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅) · 𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
8	7	r19.21bi 2593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅) · 𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
9	8	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
10	9	3ad2antr1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
11		simpr2 1006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12		rsp 2552	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))
13	10, 11, 12	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
14		simpr3 1007	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
15		rsp 2552	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))
16	13, 14, 15	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
17	16	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
18	17	caovdig 6120	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))
19	16	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
20	19	caovdirg 6123	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
21	18, 20	jca 306	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  Basecbs 12803  +_gcplusg 12880  ._rcmulr 12881  0_gc0g 13059  Mndcmnd 13219  CMndccmn 13591  mulGrpcmgp 13653  SRingcsrg 13696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-0g 13061  df-srg 13697

This theorem is referenced by:  srgdi  13707  srgdir  13708