Theorem srgmgp 13082

Description: A semiring is a monoid under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
srgmgp.g	|- G = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgmgp	|- ( R e. SRing -> G e. Mnd )

Proof of Theorem srgmgp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		srgmgp.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
3		eqid 2177	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2177	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2177	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 13079	. 2 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
7	6	simp2bi 1013	1 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   .rcmulr 12529   0gc0g 12693   Mndcmnd 12749  CMndccmn 13019  mulGrpcmgp 13061  SRingcsrg 13077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-srg 13078

This theorem is referenced by:  srgcl  13084  srgass  13085  srgideu  13086  srgidcl  13090  srgidmlem  13092  srg1zr  13101  srgpcomp  13104  srgpcompp  13105  srgpcomppsc  13106  srg1expzeq1  13109