Theorem srgmgp 14211

Description: A semiring is a monoid under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
srgmgp.g	|- G = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgmgp	|- ( R e. SRing -> G e. Mnd )

Proof of Theorem srgmgp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		srgmgp.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
3		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2234	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2234	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 14208	. 2 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
7	6	simp2bi 1040	1 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   .rcmulr 13375   0gc0g 13553   Mndcmnd 13677  CMndccmn 14037  mulGrpcmgp 14159  SRingcsrg 14206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-srg 14207

This theorem is referenced by:  srgcl  14213  srgass  14214  srgideu  14215  srgidcl  14219  srgidmlem  14221  srg1zr  14230  srgpcomp  14233  srgpcompp  14234  srgpcomppsc  14235  srg1expzeq1  14238