Theorem srgmgp 13701

Description: A semiring is a monoid under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
srgmgp.g	|- G = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgmgp	|- ( R e. SRing -> G e. Mnd )

Proof of Theorem srgmgp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		srgmgp.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
3		eqid 2204	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2204	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2204	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 13698	. 2 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) ( A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) /\ ( ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) x ) = ( 0g ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
7	6	simp2bi 1015	1 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   +g cplusg 12880   .rcmulr 12881   0gc0g 13059   Mndcmnd 13219  CMndccmn 13591  mulGrpcmgp 13653  SRingcsrg 13696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-0g 13061  df-srg 13697

This theorem is referenced by:  srgcl  13703  srgass  13704  srgideu  13705  srgidcl  13709  srgidmlem  13711  srg1zr  13720  srgpcomp  13723  srgpcompp  13724  srgpcomppsc  13725  srg1expzeq1  13728