ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srgpcomppsc Unicode version

Theorem srgpcomppsc 13001
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
srgpcomp.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
srgpcomp.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
srgpcomp.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
srgpcomp.r  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
srgpcomp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
srgpcomp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
srgpcomp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
srgpcomp.c  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
srgpcompp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
srgpcomppsc.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
srgpcomppsc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
srgpcomppsc  |-  ( ph  ->  ( ( C  .x.  ( ( N  .^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) )  .X.  A )  =  ( C  .x.  ( ( ( N  +  1 )  .^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) ) )

Proof of Theorem srgpcomppsc
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
2 srgpcomppsc.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
3 srgpcomp.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (mulGrp `  R )
43srgmgp 12977 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. SRing  ->  G  e.  Mnd )
51, 4syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6 srgpcompp.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
7 srgpcomp.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
8 srgpcomp.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( Base `  R
)
93, 8mgpbasg 12963 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e. SRing  ->  S  =  (
Base `  G )
)
101, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  G ) )
117, 10eleqtrd 2256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( Base `  G ) )
12 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
13 srgpcomp.e . . . . . . . 8  |-  .^  =  (.g
`  G )
1412, 13mulgnn0cl 12888 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( N  .^  A )  e.  ( Base `  G
) )
155, 6, 11, 14syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  .^  A
)  e.  ( Base `  G ) )
1615, 10eleqtrrd 2257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  .^  A
)  e.  S )
17 srgpcomp.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
18 srgpcomp.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
1918, 10eleqtrd 2256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Base `  G ) )
2012, 13mulgnn0cl 12888 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  K  e.  NN0  /\  B  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( K  .^  B )  e.  ( Base `  G
) )
215, 17, 19, 20syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  .^  B
)  e.  ( Base `  G ) )
2221, 10eleqtrrd 2257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  .^  B
)  e.  S )
23 srgpcomppsc.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  (.g
`  R )
24 srgpcomp.m . . . . . . 7  |-  .X.  =  ( .r `  R )
258, 23, 24srgmulgass 12998 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( C  e.  NN0  /\  ( N  .^  A )  e.  S  /\  ( K 
.^  B )  e.  S ) )  -> 
( ( C  .x.  ( N  .^  A ) )  .X.  ( K  .^  B ) )  =  ( C  .x.  (
( N  .^  A
)  .X.  ( K  .^  B ) ) ) )
2625eqcomd 2183 . . . . 5  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( C  e.  NN0  /\  ( N  .^  A )  e.  S  /\  ( K 
.^  B )  e.  S ) )  -> 
( C  .x.  (
( N  .^  A
)  .X.  ( K  .^  B ) ) )  =  ( ( C 
.x.  ( N  .^  A ) )  .X.  ( K  .^  B ) ) )
271, 2, 16, 22, 26syl13anc 1240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  (
( N  .^  A
)  .X.  ( K  .^  B ) ) )  =  ( ( C 
.x.  ( N  .^  A ) )  .X.  ( K  .^  B ) ) )
2827oveq1d 5884 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  .x.  ( ( N  .^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) )  .X.  A )  =  ( ( ( C  .x.  ( N 
.^  A ) ) 
.X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A ) )
29 srgmnd 12976 . . . . . 6  |-  ( R  e. SRing  ->  R  e.  Mnd )
301, 29syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
318, 23mulgnn0cl 12888 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  C  e.  NN0  /\  ( N  .^  A )  e.  S )  ->  ( C  .x.  ( N  .^  A ) )  e.  S )
3230, 2, 16, 31syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  ( N  .^  A ) )  e.  S )
338, 24srgass 12980 . . . 4  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
( C  .x.  ( N  .^  A ) )  e.  S  /\  ( K  .^  B )  e.  S  /\  A  e.  S ) )  -> 
( ( ( C 
.x.  ( N  .^  A ) )  .X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A )  =  ( ( C 
.x.  ( N  .^  A ) )  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A
) ) )
341, 32, 22, 7, 33syl13anc 1240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( C 
.x.  ( N  .^  A ) )  .X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A )  =  ( ( C 
.x.  ( N  .^  A ) )  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A
) ) )
3528, 34eqtrd 2210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  .x.  ( ( N  .^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) )  .X.  A )  =  ( ( C 
.x.  ( N  .^  A ) )  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A
) ) )
368, 24srgcl 12979 . . . . 5  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( K  .^  B )  e.  S  /\  A  e.  S )  ->  (
( K  .^  B
)  .X.  A )  e.  S )
371, 22, 7, 36syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K  .^  B )  .X.  A
)  e.  S )
388, 23, 24srgmulgass 12998 . . . 4  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( C  e.  NN0  /\  ( N  .^  A )  e.  S  /\  ( ( K  .^  B )  .X.  A )  e.  S
) )  ->  (
( C  .x.  ( N  .^  A ) ) 
.X.  ( ( K 
.^  B )  .X.  A ) )  =  ( C  .x.  (
( N  .^  A
)  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A ) ) ) )
391, 2, 16, 37, 38syl13anc 1240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  .x.  ( N  .^  A ) )  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A ) )  =  ( C  .x.  (
( N  .^  A
)  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A ) ) ) )
408, 24srgass 12980 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
( N  .^  A
)  e.  S  /\  ( K  .^  B )  e.  S  /\  A  e.  S ) )  -> 
( ( ( N 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A )  =  ( ( N 
.^  A )  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A
) ) )
411, 16, 22, 7, 40syl13anc 1240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A )  =  ( ( N 
.^  A )  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A
) ) )
4241eqcomd 2183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  .^  A )  .X.  (
( K  .^  B
)  .X.  A )
)  =  ( ( ( N  .^  A
)  .X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A ) )
4342oveq2d 5885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  (
( N  .^  A
)  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A ) ) )  =  ( C  .x.  ( ( ( N 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A )
) )
4439, 43eqtrd 2210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  .x.  ( N  .^  A ) )  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A ) )  =  ( C  .x.  (
( ( N  .^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) 
.X.  A ) ) )
45 srgpcomp.c . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
468, 24, 3, 13, 1, 7, 18, 17, 45, 6srgpcompp 13000 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A )  =  ( ( ( N  +  1 ) 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) )
4746oveq2d 5885 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  (
( ( N  .^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) 
.X.  A ) )  =  ( C  .x.  ( ( ( N  +  1 )  .^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) ) )
4835, 44, 473eqtrd 2214 1  |-  ( ph  ->  ( ( C  .x.  ( ( N  .^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) )  .X.  A )  =  ( C  .x.  ( ( ( N  +  1 )  .^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1c1 7803    + caddc 7805   NN0cn0 9165   Basecbs 12445   .rcmulr 12519   Mndcmnd 12709  .gcmg 12872  mulGrpcmgp 12957  SRingcsrg 12972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-base 12451  df-sets 12452  df-plusg 12531  df-mulr 12532  df-0g 12655  df-mgm 12667  df-sgrp 12700  df-mnd 12710  df-minusg 12771  df-mulg 12873  df-cmn 12917  df-mgp 12958  df-ur 12969  df-srg 12973
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator