Theorem srgpcomppsc 14004

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgpcompp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
srgpcomppsc.t	|- .x. = (.g ` R )
srgpcomppsc.c	|- ( ph -> C e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
srgpcomppsc	|- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )

Proof of Theorem srgpcomppsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. SRing )
2		srgpcomppsc.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. NN0 )
3		srgpcomp.g	. . . . . . . . 9 |- G = (mulGrp ` R )
4	3	srgmgp 13980	. . . . . . . 8 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
5	1, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Mnd )
6		srgpcompp.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
7		srgpcomp.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. S )
8		srgpcomp.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( Base ` R )
9	3, 8	mgpbasg 13938	. . . . . . . . 9 |- ( R e. SRing -> S = ( Base ` G ) )
10	1, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S = ( Base ` G ) )
11	7, 10	eleqtrd 2310	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( Base ` G ) )
12		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
13		srgpcomp.e	. . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` G )
14	12, 13	mulgnn0cl 13724	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
15	5, 6, 11, 14	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
16	15, 10	eleqtrrd 2311	. . . . 5 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. S )
17		srgpcomp.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. NN0 )
18		srgpcomp.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. S )
19	18, 10	eleqtrd 2310	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( Base ` G ) )
20	12, 13	mulgnn0cl 13724	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ K e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
21	5, 17, 19, 20	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
22	21, 10	eleqtrrd 2311	. . . . 5 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. S )
23		srgpcomppsc.t	. . . . . . 7 |- .x. = (.g ` R )
24		srgpcomp.m	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` R )
25	8, 23, 24	srgmulgass 14001	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )
26	25	eqcomd 2237	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) )
27	1, 2, 16, 22, 26	syl13anc 1275	. . . 4 |- ( ph -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) )
28	27	oveq1d 6032	. . 3 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) )
29		srgmnd 13979	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
30	1, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Mnd )
31	8, 23	mulgnn0cl 13724	. . . . 5 |- ( ( R e. Mnd /\ C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S ) -> ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S )
32	30, 2, 16, 31	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ph -> ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S )
33	8, 24	srgass 13983	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
34	1, 32, 22, 7, 33	syl13anc 1275	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
35	28, 34	eqtrd 2264	. 2 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
36	8, 24	srgcl 13982	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) -> ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S )
37	1, 22, 7, 36	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S )
38	8, 23, 24	srgmulgass 14001	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S ) ) -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) )
39	1, 2, 16, 37, 38	syl13anc 1275	. . 3 |- ( ph -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) )
40	8, 24	srgass 13983	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
41	1, 16, 22, 7, 40	syl13anc 1275	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
42	41	eqcomd 2237	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) )
43	42	oveq2d 6033	. . 3 |- ( ph -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) = ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) )
44	39, 43	eqtrd 2264	. 2 |- ( ph -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) )
45		srgpcomp.c	. . . 4 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
46	8, 24, 3, 13, 1, 7, 18, 17, 45, 6	srgpcompp 14003	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )
47	46	oveq2d 6033	. 2 |- ( ph -> ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )
48	35, 44, 47	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   1c1 8032   + caddc 8034   NN0cn0 9401   Basecbs 13081   .rcmulr 13160   Mndcmnd 13498  ._gcmg 13705  mulGrpcmgp 13932  SRingcsrg 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-seqfrec 10709  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-minusg 13586  df-mulg 13706  df-cmn 13872  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-srg 13976

This theorem is referenced by: (None)