Theorem srgpcomppsc 13548

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgpcompp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
srgpcomppsc.t	|- .x. = (.g ` R )
srgpcomppsc.c	|- ( ph -> C e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
srgpcomppsc	|- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )

Proof of Theorem srgpcomppsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. SRing )
2		srgpcomppsc.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. NN0 )
3		srgpcomp.g	. . . . . . . . 9 |- G = (mulGrp ` R )
4	3	srgmgp 13524	. . . . . . . 8 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
5	1, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Mnd )
6		srgpcompp.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
7		srgpcomp.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. S )
8		srgpcomp.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( Base ` R )
9	3, 8	mgpbasg 13482	. . . . . . . . 9 |- ( R e. SRing -> S = ( Base ` G ) )
10	1, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S = ( Base ` G ) )
11	7, 10	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( Base ` G ) )
12		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
13		srgpcomp.e	. . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` G )
14	12, 13	mulgnn0cl 13268	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
15	5, 6, 11, 14	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
16	15, 10	eleqtrrd 2276	. . . . 5 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. S )
17		srgpcomp.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. NN0 )
18		srgpcomp.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. S )
19	18, 10	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( Base ` G ) )
20	12, 13	mulgnn0cl 13268	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ K e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
21	5, 17, 19, 20	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
22	21, 10	eleqtrrd 2276	. . . . 5 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. S )
23		srgpcomppsc.t	. . . . . . 7 |- .x. = (.g ` R )
24		srgpcomp.m	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` R )
25	8, 23, 24	srgmulgass 13545	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )
26	25	eqcomd 2202	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) )
27	1, 2, 16, 22, 26	syl13anc 1251	. . . 4 |- ( ph -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) )
28	27	oveq1d 5937	. . 3 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) )
29		srgmnd 13523	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
30	1, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Mnd )
31	8, 23	mulgnn0cl 13268	. . . . 5 |- ( ( R e. Mnd /\ C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S ) -> ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S )
32	30, 2, 16, 31	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S )
33	8, 24	srgass 13527	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
34	1, 32, 22, 7, 33	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
35	28, 34	eqtrd 2229	. 2 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
36	8, 24	srgcl 13526	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) -> ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S )
37	1, 22, 7, 36	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S )
38	8, 23, 24	srgmulgass 13545	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S ) ) -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) )
39	1, 2, 16, 37, 38	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ph -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) )
40	8, 24	srgass 13527	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
41	1, 16, 22, 7, 40	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
42	41	eqcomd 2202	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) )
43	42	oveq2d 5938	. . 3 |- ( ph -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) = ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) )
44	39, 43	eqtrd 2229	. 2 |- ( ph -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) )
45		srgpcomp.c	. . . 4 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
46	8, 24, 3, 13, 1, 7, 18, 17, 45, 6	srgpcompp 13547	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )
47	46	oveq2d 5938	. 2 |- ( ph -> ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )
48	35, 44, 47	3eqtrd 2233	1 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1c1 7880   + caddc 7882   NN0cn0 9249   Basecbs 12678   .rcmulr 12756   Mndcmnd 13057  ._gcmg 13249  mulGrpcmgp 13476  SRingcsrg 13519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-minusg 13136  df-mulg 13250  df-cmn 13416  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-srg 13520

This theorem is referenced by: (None)