Theorem srgpcomppsc 14296

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgpcompp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
srgpcomppsc.t	|- .x. = (.g ` R )
srgpcomppsc.c	|- ( ph -> C e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
srgpcomppsc	|- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )

Proof of Theorem srgpcomppsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. SRing )
2		srgpcomppsc.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. NN0 )
3		srgpcomp.g	. . . . . . . . 9 |- G = (mulGrp ` R )
4	3	srgmgp 14272	. . . . . . . 8 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
5	1, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Mnd )
6		srgpcompp.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
7		srgpcomp.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. S )
8		srgpcomp.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( Base ` R )
9	3, 8	mgpbasg 14224	. . . . . . . . 9 |- ( R e. SRing -> S = ( Base ` G ) )
10	1, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S = ( Base ` G ) )
11	7, 10	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( Base ` G ) )
12		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
13		srgpcomp.e	. . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` G )
14	12, 13	mulgnn0cl 13941	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
15	5, 6, 11, 14	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
16	15, 10	eleqtrrd 2318	. . . . 5 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. S )
17		srgpcomp.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. NN0 )
18		srgpcomp.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. S )
19	18, 10	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( Base ` G ) )
20	12, 13	mulgnn0cl 13941	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ K e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
21	5, 17, 19, 20	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
22	21, 10	eleqtrrd 2318	. . . . 5 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. S )
23		srgpcomppsc.t	. . . . . . 7 |- .x. = (.g ` R )
24		srgpcomp.m	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` R )
25	8, 23, 24	srgmulgass 14293	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )
26	25	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) )
27	1, 2, 16, 22, 26	syl13anc 1280	. . . 4 |- ( ph -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) )
28	27	oveq1d 6100	. . 3 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) )
29		srgmnd 14271	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
30	1, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Mnd )
31	8, 23	mulgnn0cl 13941	. . . . 5 |- ( ( R e. Mnd /\ C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S ) -> ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S )
32	30, 2, 16, 31	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S )
33	8, 24	srgass 14275	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
34	1, 32, 22, 7, 33	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
35	28, 34	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
36	8, 24	srgcl 14274	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) -> ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S )
37	1, 22, 7, 36	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S )
38	8, 23, 24	srgmulgass 14293	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S ) ) -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) )
39	1, 2, 16, 37, 38	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ph -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) )
40	8, 24	srgass 14275	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
41	1, 16, 22, 7, 40	syl13anc 1280	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
42	41	eqcomd 2244	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) )
43	42	oveq2d 6101	. . 3 |- ( ph -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) = ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) )
44	39, 43	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) )
45		srgpcomp.c	. . . 4 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
46	8, 24, 3, 13, 1, 7, 18, 17, 45, 6	srgpcompp 14295	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )
47	46	oveq2d 6101	. 2 |- ( ph -> ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )
48	35, 44, 47	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8180   + caddc 8182   NN0cn0 9563   Basecbs 13352   .rcmulr 13432   Mndcmnd 13729  ._gcmg 13922  mulGrpcmgp 14217  SRingcsrg 14267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-minusg 13809  df-mulg 13923  df-cmn 14089  df-mgp 14218  df-ur 14263  df-srg 14268

This theorem is used by: (None)