Theorem srgpcomppsc 13950

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgpcompp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
srgpcomppsc.t	|- .x. = (.g ` R )
srgpcomppsc.c	|- ( ph -> C e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
srgpcomppsc	|- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )

Proof of Theorem srgpcomppsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. SRing )
2		srgpcomppsc.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. NN0 )
3		srgpcomp.g	. . . . . . . . 9 |- G = (mulGrp ` R )
4	3	srgmgp 13926	. . . . . . . 8 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
5	1, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Mnd )
6		srgpcompp.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
7		srgpcomp.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. S )
8		srgpcomp.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( Base ` R )
9	3, 8	mgpbasg 13884	. . . . . . . . 9 |- ( R e. SRing -> S = ( Base ` G ) )
10	1, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S = ( Base ` G ) )
11	7, 10	eleqtrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( Base ` G ) )
12		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
13		srgpcomp.e	. . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` G )
14	12, 13	mulgnn0cl 13670	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
15	5, 6, 11, 14	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
16	15, 10	eleqtrrd 2309	. . . . 5 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. S )
17		srgpcomp.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. NN0 )
18		srgpcomp.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. S )
19	18, 10	eleqtrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( Base ` G ) )
20	12, 13	mulgnn0cl 13670	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ K e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
21	5, 17, 19, 20	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
22	21, 10	eleqtrrd 2309	. . . . 5 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. S )
23		srgpcomppsc.t	. . . . . . 7 |- .x. = (.g ` R )
24		srgpcomp.m	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` R )
25	8, 23, 24	srgmulgass 13947	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )
26	25	eqcomd 2235	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) )
27	1, 2, 16, 22, 26	syl13anc 1273	. . . 4 |- ( ph -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) )
28	27	oveq1d 6015	. . 3 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) )
29		srgmnd 13925	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
30	1, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Mnd )
31	8, 23	mulgnn0cl 13670	. . . . 5 |- ( ( R e. Mnd /\ C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S ) -> ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S )
32	30, 2, 16, 31	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ph -> ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S )
33	8, 24	srgass 13929	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( C .x. ( N .^ A ) ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
34	1, 32, 22, 7, 33	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
35	28, 34	eqtrd 2262	. 2 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
36	8, 24	srgcl 13928	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) -> ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S )
37	1, 22, 7, 36	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S )
38	8, 23, 24	srgmulgass 13947	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( C e. NN0 /\ ( N .^ A ) e. S /\ ( ( K .^ B ) .X. A ) e. S ) ) -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) )
39	1, 2, 16, 37, 38	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) )
40	8, 24	srgass 13929	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
41	1, 16, 22, 7, 40	syl13anc 1273	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
42	41	eqcomd 2235	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) )
43	42	oveq2d 6016	. . 3 |- ( ph -> ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) ) = ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) )
44	39, 43	eqtrd 2262	. 2 |- ( ph -> ( ( C .x. ( N .^ A ) ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) )
45		srgpcomp.c	. . . 4 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
46	8, 24, 3, 13, 1, 7, 18, 17, 45, 6	srgpcompp 13949	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )
47	46	oveq2d 6016	. 2 |- ( ph -> ( C .x. ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )
48	35, 44, 47	3eqtrd 2266	1 |- ( ph -> ( ( C .x. ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) .X. A ) = ( C .x. ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   1c1 7996   + caddc 7998   NN0cn0 9365   Basecbs 13027   .rcmulr 13106   Mndcmnd 13444  ._gcmg 13651  mulGrpcmgp 13878  SRingcsrg 13921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-seqfrec 10665  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-minusg 13532  df-mulg 13652  df-cmn 13818  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-srg 13922

This theorem is referenced by: (None)