Theorem srgpcompp 14402

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgpcompp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	|- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
2		srgpcomp.g	. . . . . . 7 |- G = (mulGrp ` R )
3	2	srgmgp 14379	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Mnd )
5		srgpcompp.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		srgpcomp.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
7		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 |- S = ( Base ` R )
8	2, 7	mgpbasg 14331	. . . . . . 7 |- ( R e. SRing -> S = ( Base ` G ) )
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> S = ( Base ` G ) )
10	6, 9	eleqtrd 2317	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( Base ` G ) )
11		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
12		srgpcomp.e	. . . . . 6 |- .^ = (.g ` G )
13	11, 12	mulgnn0cl 14000	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
14	4, 5, 10, 13	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
15	14, 9	eleqtrrd 2318	. . 3 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. S )
16		srgpcomp.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN0 )
17		srgpcomp.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. S )
18	17, 9	eleqtrd 2317	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( Base ` G ) )
19	11, 12	mulgnn0cl 14000	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ K e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
20	4, 16, 18, 19	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
21	20, 9	eleqtrrd 2318	. . 3 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. S )
22		srgpcomp.m	. . . 4 |- .X. = ( .r ` R )
23	7, 22	srgass 14382	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
24	1, 15, 21, 6, 23	syl13anc 1280	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
25		srgpcomp.c	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
26	7, 22, 2, 12, 1, 6, 17, 16, 25	srgpcomp 14401	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )
27	26	oveq2d 6104	. . 3 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
28	7, 22	srgass 14382	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ A e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
29	1, 15, 6, 21, 28	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
30	27, 29	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) )
31	2, 22	mgpplusgg 14328	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> .X. = ( +g ` G ) )
32	1, 31	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> .X. = ( +g ` G ) )
33	32	oveqd 6105	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
34		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
35	11, 12, 34	mulgnn0p1 13995	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( ( N + 1 ) .^ A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
36	4, 5, 10, 35	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) .^ A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
37	33, 36	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. A ) = ( ( N + 1 ) .^ A ) )
38	37	oveq1d 6103	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )
39	24, 30, 38	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1c1 8186   + caddc 8188   NN0cn0 9574   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491   Mndcmnd 13788  ._gcmg 13981  mulGrpcmgp 14324  SRingcsrg 14374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-seqfrec 10906  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375

This theorem is used by:  srgpcomppsc  14403