Theorem srgpcompp 14269

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgpcompp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	|- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
2		srgpcomp.g	. . . . . . 7 |- G = (mulGrp ` R )
3	2	srgmgp 14246	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Mnd )
5		srgpcompp.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		srgpcomp.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
7		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 |- S = ( Base ` R )
8	2, 7	mgpbasg 14200	. . . . . . 7 |- ( R e. SRing -> S = ( Base ` G ) )
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> S = ( Base ` G ) )
10	6, 9	eleqtrd 2317	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( Base ` G ) )
11		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
12		srgpcomp.e	. . . . . 6 |- .^ = (.g ` G )
13	11, 12	mulgnn0cl 13918	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
14	4, 5, 10, 13	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
15	14, 9	eleqtrrd 2318	. . 3 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. S )
16		srgpcomp.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN0 )
17		srgpcomp.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. S )
18	17, 9	eleqtrd 2317	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( Base ` G ) )
19	11, 12	mulgnn0cl 13918	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ K e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
20	4, 16, 18, 19	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
21	20, 9	eleqtrrd 2318	. . 3 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. S )
22		srgpcomp.m	. . . 4 |- .X. = ( .r ` R )
23	7, 22	srgass 14249	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
24	1, 15, 21, 6, 23	syl13anc 1280	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
25		srgpcomp.c	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
26	7, 22, 2, 12, 1, 6, 17, 16, 25	srgpcomp 14268	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )
27	26	oveq2d 6091	. . 3 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
28	7, 22	srgass 14249	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ A e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
29	1, 15, 6, 21, 28	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
30	27, 29	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) )
31	2, 22	mgpplusgg 14198	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> .X. = ( +g ` G ) )
32	1, 31	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> .X. = ( +g ` G ) )
33	32	oveqd 6092	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
34		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
35	11, 12, 34	mulgnn0p1 13913	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( ( N + 1 ) .^ A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
36	4, 5, 10, 35	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) .^ A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
37	33, 36	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. A ) = ( ( N + 1 ) .^ A ) )
38	37	oveq1d 6090	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )
39	24, 30, 38	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1c1 8170   + caddc 8172   NN0cn0 9542   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409   Mndcmnd 13706  ._gcmg 13899  mulGrpcmgp 14194  SRingcsrg 14241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-minusg 13786  df-mulg 13900  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-srg 14242

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  14270