Theorem srgpcompp 13797

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgpcompp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	|- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
2		srgpcomp.g	. . . . . . 7 |- G = (mulGrp ` R )
3	2	srgmgp 13774	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Mnd )
5		srgpcompp.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		srgpcomp.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
7		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 |- S = ( Base ` R )
8	2, 7	mgpbasg 13732	. . . . . . 7 |- ( R e. SRing -> S = ( Base ` G ) )
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> S = ( Base ` G ) )
10	6, 9	eleqtrd 2285	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( Base ` G ) )
11		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
12		srgpcomp.e	. . . . . 6 |- .^ = (.g ` G )
13	11, 12	mulgnn0cl 13518	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
14	4, 5, 10, 13	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
15	14, 9	eleqtrrd 2286	. . 3 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. S )
16		srgpcomp.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN0 )
17		srgpcomp.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. S )
18	17, 9	eleqtrd 2285	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( Base ` G ) )
19	11, 12	mulgnn0cl 13518	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ K e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
20	4, 16, 18, 19	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
21	20, 9	eleqtrrd 2286	. . 3 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. S )
22		srgpcomp.m	. . . 4 |- .X. = ( .r ` R )
23	7, 22	srgass 13777	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
24	1, 15, 21, 6, 23	syl13anc 1252	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
25		srgpcomp.c	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
26	7, 22, 2, 12, 1, 6, 17, 16, 25	srgpcomp 13796	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )
27	26	oveq2d 5967	. . 3 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
28	7, 22	srgass 13777	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ A e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
29	1, 15, 6, 21, 28	syl13anc 1252	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
30	27, 29	eqtr4d 2242	. 2 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) )
31	2, 22	mgpplusgg 13730	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> .X. = ( +g ` G ) )
32	1, 31	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> .X. = ( +g ` G ) )
33	32	oveqd 5968	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
34		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
35	11, 12, 34	mulgnn0p1 13513	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( ( N + 1 ) .^ A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
36	4, 5, 10, 35	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) .^ A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
37	33, 36	eqtr4d 2242	. . 3 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. A ) = ( ( N + 1 ) .^ A ) )
38	37	oveq1d 5966	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )
39	24, 30, 38	3eqtrd 2243	1 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   1c1 7933   + caddc 7935   NN0cn0 9302   Basecbs 12876   +g cplusg 12953   .rcmulr 12954   Mndcmnd 13292  ._gcmg 13499  mulGrpcmgp 13726  SRingcsrg 13769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-seqfrec 10600  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-minusg 13380  df-mulg 13500  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-srg 13770

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  13798