Theorem srgpcompp 14068

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgpcompp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	|- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
2		srgpcomp.g	. . . . . . 7 |- G = (mulGrp ` R )
3	2	srgmgp 14045	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Mnd )
5		srgpcompp.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		srgpcomp.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
7		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 |- S = ( Base ` R )
8	2, 7	mgpbasg 14003	. . . . . . 7 |- ( R e. SRing -> S = ( Base ` G ) )
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> S = ( Base ` G ) )
10	6, 9	eleqtrd 2310	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( Base ` G ) )
11		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
12		srgpcomp.e	. . . . . 6 |- .^ = (.g ` G )
13	11, 12	mulgnn0cl 13788	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
14	4, 5, 10, 13	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. ( Base ` G ) )
15	14, 9	eleqtrrd 2311	. . 3 |- ( ph -> ( N .^ A ) e. S )
16		srgpcomp.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN0 )
17		srgpcomp.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. S )
18	17, 9	eleqtrd 2310	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( Base ` G ) )
19	11, 12	mulgnn0cl 13788	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ K e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
20	4, 16, 18, 19	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. ( Base ` G ) )
21	20, 9	eleqtrrd 2311	. . 3 |- ( ph -> ( K .^ B ) e. S )
22		srgpcomp.m	. . . 4 |- .X. = ( .r ` R )
23	7, 22	srgass 14048	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ ( K .^ B ) e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
24	1, 15, 21, 6, 23	syl13anc 1276	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) )
25		srgpcomp.c	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
26	7, 22, 2, 12, 1, 6, 17, 16, 25	srgpcomp 14067	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )
27	26	oveq2d 6044	. . 3 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
28	7, 22	srgass 14048	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ A ) e. S /\ A e. S /\ ( K .^ B ) e. S ) ) -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
29	1, 15, 6, 21, 28	syl13anc 1276	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( N .^ A ) .X. ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
30	27, 29	eqtr4d 2267	. 2 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. ( ( K .^ B ) .X. A ) ) = ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) )
31	2, 22	mgpplusgg 14001	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> .X. = ( +g ` G ) )
32	1, 31	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> .X. = ( +g ` G ) )
33	32	oveqd 6045	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
34		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
35	11, 12, 34	mulgnn0p1 13783	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( ( N + 1 ) .^ A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
36	4, 5, 10, 35	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) .^ A ) = ( ( N .^ A ) ( +g ` G ) A ) )
37	33, 36	eqtr4d 2267	. . 3 |- ( ph -> ( ( N .^ A ) .X. A ) = ( ( N + 1 ) .^ A ) )
38	37	oveq1d 6043	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. A ) .X. ( K .^ B ) ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )
39	24, 30, 38	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> ( ( ( N .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) .X. A ) = ( ( ( N + 1 ) .^ A ) .X. ( K .^ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1c1 8076   + caddc 8078   NN0cn0 9444   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   .rcmulr 13224   Mndcmnd 13562  ._gcmg 13769  mulGrpcmgp 13997  SRingcsrg 14040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-seqfrec 10756  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-minusg 13650  df-mulg 13770  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-srg 14041

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  14069