ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srgpcompp Unicode version

Theorem srgpcompp 12987
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
srgpcomp.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
srgpcomp.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
srgpcomp.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
srgpcomp.r  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
srgpcomp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
srgpcomp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
srgpcomp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
srgpcomp.c  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
srgpcompp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
srgpcompp  |-  ( ph  ->  ( ( ( N 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A )  =  ( ( ( N  +  1 ) 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) )

Proof of Theorem srgpcompp
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
2 srgpcomp.g . . . . . . 7  |-  G  =  (mulGrp `  R )
32srgmgp 12964 . . . . . 6  |-  ( R  e. SRing  ->  G  e.  Mnd )
41, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
5 srgpcompp.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 srgpcomp.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
7 srgpcomp.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( Base `  R
)
82, 7mgpbasg 12950 . . . . . . 7  |-  ( R  e. SRing  ->  S  =  (
Base `  G )
)
91, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  G ) )
106, 9eleqtrd 2256 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( Base `  G ) )
11 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
12 srgpcomp.e . . . . . 6  |-  .^  =  (.g
`  G )
1311, 12mulgnn0cl 12875 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( N  .^  A )  e.  ( Base `  G
) )
144, 5, 10, 13syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  .^  A
)  e.  ( Base `  G ) )
1514, 9eleqtrrd 2257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  .^  A
)  e.  S )
16 srgpcomp.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
17 srgpcomp.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
1817, 9eleqtrd 2256 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Base `  G ) )
1911, 12mulgnn0cl 12875 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  K  e.  NN0  /\  B  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( K  .^  B )  e.  ( Base `  G
) )
204, 16, 18, 19syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  .^  B
)  e.  ( Base `  G ) )
2120, 9eleqtrrd 2257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  .^  B
)  e.  S )
22 srgpcomp.m . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
237, 22srgass 12967 . . 3  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
( N  .^  A
)  e.  S  /\  ( K  .^  B )  e.  S  /\  A  e.  S ) )  -> 
( ( ( N 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A )  =  ( ( N 
.^  A )  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A
) ) )
241, 15, 21, 6, 23syl13anc 1240 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A )  =  ( ( N 
.^  A )  .X.  ( ( K  .^  B )  .X.  A
) ) )
25 srgpcomp.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  B
)  =  ( B 
.X.  A ) )
267, 22, 2, 12, 1, 6, 17, 16, 25srgpcomp 12986 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K  .^  B )  .X.  A
)  =  ( A 
.X.  ( K  .^  B ) ) )
2726oveq2d 5884 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  .^  A )  .X.  (
( K  .^  B
)  .X.  A )
)  =  ( ( N  .^  A )  .X.  ( A  .X.  ( K  .^  B ) ) ) )
287, 22srgass 12967 . . . 4  |-  ( ( R  e. SRing  /\  (
( N  .^  A
)  e.  S  /\  A  e.  S  /\  ( K  .^  B )  e.  S ) )  ->  ( ( ( N  .^  A )  .X.  A )  .X.  ( K  .^  B ) )  =  ( ( N 
.^  A )  .X.  ( A  .X.  ( K 
.^  B ) ) ) )
291, 15, 6, 21, 28syl13anc 1240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N 
.^  A )  .X.  A )  .X.  ( K  .^  B ) )  =  ( ( N 
.^  A )  .X.  ( A  .X.  ( K 
.^  B ) ) ) )
3027, 29eqtr4d 2213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  .^  A )  .X.  (
( K  .^  B
)  .X.  A )
)  =  ( ( ( N  .^  A
)  .X.  A )  .X.  ( K  .^  B
) ) )
312, 22mgpplusgg 12948 . . . . . 6  |-  ( R  e. SRing  ->  .X.  =  ( +g  `  G ) )
321, 31syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .X.  =  ( +g  `  G ) )
3332oveqd 5885 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  .^  A )  .X.  A
)  =  ( ( N  .^  A )
( +g  `  G ) A ) )
34 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3511, 12, 34mulgnn0p1 12870 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( N  +  1 )  .^  A )  =  ( ( N 
.^  A ) ( +g  `  G ) A ) )
364, 5, 10, 35syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  .^  A
)  =  ( ( N  .^  A )
( +g  `  G ) A ) )
3733, 36eqtr4d 2213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  .^  A )  .X.  A
)  =  ( ( N  +  1 ) 
.^  A ) )
3837oveq1d 5883 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N 
.^  A )  .X.  A )  .X.  ( K  .^  B ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) )
3924, 30, 383eqtrd 2214 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( N 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) )  .X.  A )  =  ( ( ( N  +  1 ) 
.^  A )  .X.  ( K  .^  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   1c1 7790    + caddc 7792   NN0cn0 9152   Basecbs 12432   +g cplusg 12505   .rcmulr 12506   Mndcmnd 12696  .gcmg 12859  mulGrpcmgp 12944  SRingcsrg 12959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-seqfrec 10419  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-sets 12439  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-minusg 12758  df-mulg 12860  df-mgp 12945  df-ur 12956  df-srg 12960
This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  12988
  Copyright terms: Public domain W3C validator