Theorem srgmgp 13151

Description: A semiring is a monoid under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
srgmgp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgmgp	⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem srgmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		srgmgp.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2177	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2177	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2177	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 13148	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing ↔ (𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))))
7	6	simp2bi 1013	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  +_gcplusg 12536  ._rcmulr 12537  0_gc0g 12705  Mndcmnd 12817  CMndccmn 13088  mulGrpcmgp 13130  SRingcsrg 13146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-srg 13147

This theorem is referenced by:  srgcl  13153  srgass  13154  srgideu  13155  srgidcl  13159  srgidmlem  13161  srg1zr  13170  srgpcomp  13173  srgpcompp  13174  srgpcomppsc  13175  srg1expzeq1  13178