Theorem srg1expzeq1 14276

Description: The exponentiation (by a nonnegative integer) of the multiplicative identity of a semiring, analogous to mulgnn0z 13932. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg1expzeq1.g	|- G = (mulGrp ` R )
srg1expzeq1.t	|- .x. = (.g ` G )
srg1expzeq1.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srg1expzeq1	|- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .1. ) = .1. )

Proof of Theorem srg1expzeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srg1expzeq1.g	. . . 4 |- G = (mulGrp ` R )
2	1	srgmgp 14249	. . 3 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4		srg1expzeq1.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
5		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	3, 4, 5	mulgnn0z 13932	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
7	2, 6	sylan 283	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
8		srg1expzeq1.1	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` R )
9	1, 8	ringidvalg 14242	. . . . 5 |- ( R e. SRing -> .1. = ( 0g ` G ) )
10	9	oveq2d 6094	. . . 4 |- ( R e. SRing -> ( N .x. .1. ) = ( N .x. ( 0g ` G ) ) )
11	10, 9	eqeq12d 2253	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( ( N .x. .1. ) = .1. <-> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) )
12	11	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( ( N .x. .1. ) = .1. <-> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) )
13	7, 12	mpbird 167	1 |- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .1. ) = .1. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   NN0cn0 9545   Basecbs 13333   0gc0g 13590   Mndcmnd 13709  ._gcmg 13902  mulGrpcmgp 14197   1rcur 14240  SRingcsrg 14244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394  df-fzo 10531  df-seqfrec 10866  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-0g 13592  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-minusg 13789  df-mulg 13903  df-mgp 14198  df-ur 14241  df-srg 14245

This theorem is referenced by: (None)