Theorem srg1expzeq1 13918

Description: The exponentiation (by a nonnegative integer) of the multiplicative identity of a semiring, analogous to mulgnn0z 13646. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg1expzeq1.g	|- G = (mulGrp ` R )
srg1expzeq1.t	|- .x. = (.g ` G )
srg1expzeq1.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srg1expzeq1	|- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .1. ) = .1. )

Proof of Theorem srg1expzeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srg1expzeq1.g	. . . 4 |- G = (mulGrp ` R )
2	1	srgmgp 13891	. . 3 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
3		eqid 2207	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4		srg1expzeq1.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
5		eqid 2207	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	3, 4, 5	mulgnn0z 13646	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
7	2, 6	sylan 283	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
8		srg1expzeq1.1	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` R )
9	1, 8	ringidvalg 13884	. . . . 5 |- ( R e. SRing -> .1. = ( 0g ` G ) )
10	9	oveq2d 5985	. . . 4 |- ( R e. SRing -> ( N .x. .1. ) = ( N .x. ( 0g ` G ) ) )
11	10, 9	eqeq12d 2222	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( ( N .x. .1. ) = .1. <-> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) )
12	11	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( ( N .x. .1. ) = .1. <-> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) )
13	7, 12	mpbird 167	1 |- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .1. ) = .1. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5291  (class class class)co 5969   NN0cn0 9332   Basecbs 12993   0gc0g 13249   Mndcmnd 13409  ._gcmg 13616  mulGrpcmgp 13843   1rcur 13882  SRingcsrg 13886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-frec 6502  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-fz 10168  df-fzo 10302  df-seqfrec 10632  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-sets 13000  df-plusg 13083  df-mulr 13084  df-0g 13251  df-mgm 13349  df-sgrp 13395  df-mnd 13410  df-minusg 13497  df-mulg 13617  df-mgp 13844  df-ur 13883  df-srg 13887

This theorem is referenced by: (None)