Theorem srg1expzeq1 13366

Description: The exponentiation (by a nonnegative integer) of the multiplicative identity of a semiring, analogous to mulgnn0z 13106. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srg1expzeq1.g	|- G = (mulGrp ` R )
srg1expzeq1.t	|- .x. = (.g ` G )
srg1expzeq1.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srg1expzeq1	|- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .1. ) = .1. )

Proof of Theorem srg1expzeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srg1expzeq1.g	. . . 4 |- G = (mulGrp ` R )
2	1	srgmgp 13339	. . 3 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
3		eqid 2189	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4		srg1expzeq1.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
5		eqid 2189	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	3, 4, 5	mulgnn0z 13106	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
7	2, 6	sylan 283	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
8		srg1expzeq1.1	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` R )
9	1, 8	ringidvalg 13332	. . . . 5 |- ( R e. SRing -> .1. = ( 0g ` G ) )
10	9	oveq2d 5913	. . . 4 |- ( R e. SRing -> ( N .x. .1. ) = ( N .x. ( 0g ` G ) ) )
11	10, 9	eqeq12d 2204	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( ( N .x. .1. ) = .1. <-> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) )
12	11	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( ( N .x. .1. ) = .1. <-> ( N .x. ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) )
13	7, 12	mpbird 167	1 |- ( ( R e. SRing /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .1. ) = .1. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   NN0cn0 9207   Basecbs 12515   0gc0g 12764   Mndcmnd 12892  ._gcmg 13076  mulGrpcmgp 13291   1rcur 13330  SRingcsrg 13334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-minusg 12964  df-mulg 13077  df-mgp 13292  df-ur 13331  df-srg 13335

This theorem is referenced by: (None)