Theorem srgpcomp 14134

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if one of the elements is raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )

Assertion

Ref	Expression
srgpcomp	|- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )

Proof of Theorem srgpcomp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.k	. 2 |- ( ph -> K e. NN0 )
2		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x .^ B ) = ( 0 .^ B ) )
3	2	oveq1d 6065	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( 0 .^ B ) .X. A ) )
4	2	oveq2d 6066	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2247	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 0 -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) ) ) )
7		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .^ B ) = ( y .^ B ) )
8	7	oveq1d 6065	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. A ) )
9	7	oveq2d 6066	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) )
10	8, 9	eqeq12d 2247	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) ) )
12		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .^ B ) = ( ( y + 1 ) .^ B ) )
13	12	oveq1d 6065	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) )
14	12	oveq2d 6066	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2247	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
17		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( x = K -> ( x .^ B ) = ( K .^ B ) )
18	17	oveq1d 6065	. . . . 5 |- ( x = K -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( K .^ B ) .X. A ) )
19	17	oveq2d 6066	. . . . 5 |- ( x = K -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2247	. . . 4 |- ( x = K -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = K -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) ) )
22		srgpcomp.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. S )
23		srgpcomp.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. SRing )
24		srgpcomp.g	. . . . . . . . . 10 |- G = (mulGrp ` R )
25		srgpcomp.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( Base ` R )
26	24, 25	mgpbasg 14070	. . . . . . . . 9 |- ( R e. SRing -> S = ( Base ` G ) )
27	23, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S = ( Base ` G ) )
28	22, 27	eleqtrd 2311	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( Base ` G ) )
29		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
30		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
31		srgpcomp.e	. . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` G )
32	29, 30, 31	mulg0 13842	. . . . . . 7 |- ( B e. ( Base ` G ) -> ( 0 .^ B ) = ( 0g ` G ) )
33	28, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 .^ B ) = ( 0g ` G ) )
34		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
35	24, 34	ringidvalg 14105	. . . . . . 7 |- ( R e. SRing -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` G ) )
36	23, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` G ) )
37	33, 36	eqtr4d 2268	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 .^ B ) = ( 1r ` R ) )
38	37	oveq1d 6065	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( ( 1r ` R ) .X. A ) )
39		srgpcomp.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
40		srgpcomp.m	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` R )
41	25, 40, 34	srgridm 14124	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ A e. S ) -> ( A .X. ( 1r ` R ) ) = A )
42	23, 39, 41	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .X. ( 1r ` R ) ) = A )
43	37	oveq2d 6066	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .X. ( 0 .^ B ) ) = ( A .X. ( 1r ` R ) ) )
44	25, 40, 34	srglidm 14123	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ A e. S ) -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = A )
45	23, 39, 44	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = A )
46	42, 43, 45	3eqtr4rd 2276	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
47	38, 46	eqtrd 2265	. . 3 |- ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
48	24	srgmgp 14112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
49	23, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. Mnd )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> G e. Mnd )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
52	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> B e. S )
53	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> S = ( Base ` G ) )
54	52, 53	eleqtrd 2311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> B e. ( Base ` G ) )
55		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
56	29, 31, 55	mulgnn0p1 13850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) ( +g ` G ) B ) )
57	50, 51, 54, 56	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) ( +g ` G ) B ) )
58	24, 40	mgpplusgg 14068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. SRing -> .X. = ( +g ` G ) )
59	23, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> .X. = ( +g ` G ) )
60	59	oveqd 6067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( y .^ B ) .X. B ) = ( ( y .^ B ) ( +g ` G ) B ) )
61	60	eqeq2d 2244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) .X. B ) <-> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) ( +g ` G ) B ) ) )
62	61	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) .X. B ) <-> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) ( +g ` G ) B ) ) )
63	57, 62	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) .X. B ) )
64	63	oveq1d 6065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) )
65		srgpcomp.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
66	65	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B .X. A ) = ( A .X. B ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( B .X. A ) = ( A .X. B ) )
68	67	oveq2d 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
69	23	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> R e. SRing )
70	29, 31	mulgnn0cl 13855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( y .^ B ) e. ( Base ` G ) )
71	50, 51, 54, 70	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( y .^ B ) e. ( Base ` G ) )
72	71, 53	eleqtrrd 2312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( y .^ B ) e. S )
73	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> A e. S )
74	25, 40	srgass 14115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( y .^ B ) e. S /\ B e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) )
75	69, 72, 52, 73, 74	syl13anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) )
76	25, 40	srgass 14115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( y .^ B ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
77	69, 72, 73, 52, 76	syl13anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
78	68, 75, 77	3eqtr4d 2275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
79	64, 78	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
81		oveq1 6057	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) )
82	25, 40	srgass 14115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ ( y .^ B ) e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) )
83	69, 73, 72, 52, 82	syl13anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) )
84	63	eqcomd 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y .^ B ) .X. B ) = ( ( y + 1 ) .^ B ) )
85	84	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
86	83, 85	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
87	81, 86	sylan9eqr 2287	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
88	80, 87	eqtrd 2265	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
89	88	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) )
90	89	expcom 116	. . . 4 |- ( y e. NN0 -> ( ph -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
91	90	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN0 -> ( ( ph -> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
92	6, 11, 16, 21, 47, 91	nn0ind 9692	. 2 |- ( K e. NN0 -> ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
93	1, 92	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   NN0cn0 9496   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   .rcmulr 13291   0gc0g 13469   Mndcmnd 13629  ._gcmg 13836  mulGrpcmgp 14064   1rcur 14103  SRingcsrg 14107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-seqfrec 10810  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-minusg 13717  df-mulg 13837  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-srg 14108

This theorem is referenced by:  srgpcompp  14135