Theorem srgpcomp 13827

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if one of the elements is raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgpcomp.e	|- .^ = (.g ` G )
srgpcomp.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a	|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b	|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k	|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )

Assertion

Ref	Expression
srgpcomp	|- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )

Proof of Theorem srgpcomp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.k	. 2 |- ( ph -> K e. NN0 )
2		oveq1 5964	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x .^ B ) = ( 0 .^ B ) )
3	2	oveq1d 5972	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( 0 .^ B ) .X. A ) )
4	2	oveq2d 5973	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2221	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 0 -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) ) ) )
7		oveq1 5964	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .^ B ) = ( y .^ B ) )
8	7	oveq1d 5972	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. A ) )
9	7	oveq2d 5973	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) )
10	8, 9	eqeq12d 2221	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) ) )
12		oveq1 5964	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .^ B ) = ( ( y + 1 ) .^ B ) )
13	12	oveq1d 5972	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) )
14	12	oveq2d 5973	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2221	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
17		oveq1 5964	. . . . . 6 |- ( x = K -> ( x .^ B ) = ( K .^ B ) )
18	17	oveq1d 5972	. . . . 5 |- ( x = K -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( K .^ B ) .X. A ) )
19	17	oveq2d 5973	. . . . 5 |- ( x = K -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2221	. . . 4 |- ( x = K -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = K -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) ) )
22		srgpcomp.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. S )
23		srgpcomp.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. SRing )
24		srgpcomp.g	. . . . . . . . . 10 |- G = (mulGrp ` R )
25		srgpcomp.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( Base ` R )
26	24, 25	mgpbasg 13763	. . . . . . . . 9 |- ( R e. SRing -> S = ( Base ` G ) )
27	23, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S = ( Base ` G ) )
28	22, 27	eleqtrd 2285	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( Base ` G ) )
29		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
30		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
31		srgpcomp.e	. . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` G )
32	29, 30, 31	mulg0 13536	. . . . . . 7 |- ( B e. ( Base ` G ) -> ( 0 .^ B ) = ( 0g ` G ) )
33	28, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 .^ B ) = ( 0g ` G ) )
34		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
35	24, 34	ringidvalg 13798	. . . . . . 7 |- ( R e. SRing -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` G ) )
36	23, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` G ) )
37	33, 36	eqtr4d 2242	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 .^ B ) = ( 1r ` R ) )
38	37	oveq1d 5972	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( ( 1r ` R ) .X. A ) )
39		srgpcomp.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
40		srgpcomp.m	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` R )
41	25, 40, 34	srgridm 13817	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ A e. S ) -> ( A .X. ( 1r ` R ) ) = A )
42	23, 39, 41	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .X. ( 1r ` R ) ) = A )
43	37	oveq2d 5973	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .X. ( 0 .^ B ) ) = ( A .X. ( 1r ` R ) ) )
44	25, 40, 34	srglidm 13816	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ A e. S ) -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = A )
45	23, 39, 44	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = A )
46	42, 43, 45	3eqtr4rd 2250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
47	38, 46	eqtrd 2239	. . 3 |- ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
48	24	srgmgp 13805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
49	23, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. Mnd )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> G e. Mnd )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
52	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> B e. S )
53	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> S = ( Base ` G ) )
54	52, 53	eleqtrd 2285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> B e. ( Base ` G ) )
55		eqid 2206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
56	29, 31, 55	mulgnn0p1 13544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) ( +g ` G ) B ) )
57	50, 51, 54, 56	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) ( +g ` G ) B ) )
58	24, 40	mgpplusgg 13761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. SRing -> .X. = ( +g ` G ) )
59	23, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> .X. = ( +g ` G ) )
60	59	oveqd 5974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( y .^ B ) .X. B ) = ( ( y .^ B ) ( +g ` G ) B ) )
61	60	eqeq2d 2218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) .X. B ) <-> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) ( +g ` G ) B ) ) )
62	61	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) .X. B ) <-> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) ( +g ` G ) B ) ) )
63	57, 62	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) .X. B ) )
64	63	oveq1d 5972	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) )
65		srgpcomp.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
66	65	eqcomd 2212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B .X. A ) = ( A .X. B ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( B .X. A ) = ( A .X. B ) )
68	67	oveq2d 5973	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
69	23	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> R e. SRing )
70	29, 31	mulgnn0cl 13549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ B e. ( Base ` G ) ) -> ( y .^ B ) e. ( Base ` G ) )
71	50, 51, 54, 70	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( y .^ B ) e. ( Base ` G ) )
72	71, 53	eleqtrrd 2286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( y .^ B ) e. S )
73	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> A e. S )
74	25, 40	srgass 13808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( y .^ B ) e. S /\ B e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) )
75	69, 72, 52, 73, 74	syl13anc 1252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) )
76	25, 40	srgass 13808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( y .^ B ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
77	69, 72, 73, 52, 76	syl13anc 1252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
78	68, 75, 77	3eqtr4d 2249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
79	64, 78	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
81		oveq1 5964	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) )
82	25, 40	srgass 13808	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ ( y .^ B ) e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) )
83	69, 73, 72, 52, 82	syl13anc 1252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) )
84	63	eqcomd 2212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y .^ B ) .X. B ) = ( ( y + 1 ) .^ B ) )
85	84	oveq2d 5973	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
86	83, 85	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
87	81, 86	sylan9eqr 2261	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
88	80, 87	eqtrd 2239	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
89	88	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) )
90	89	expcom 116	. . . 4 |- ( y e. NN0 -> ( ph -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
91	90	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN0 -> ( ( ph -> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
92	6, 11, 16, 21, 47, 91	nn0ind 9507	. 2 |- ( K e. NN0 -> ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
93	1, 92	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   0cc0 7945   1c1 7946   + caddc 7948   NN0cn0 9315   Basecbs 12907   +g cplusg 12984   .rcmulr 12985   0gc0g 13163   Mndcmnd 13323  ._gcmg 13530  mulGrpcmgp 13757   1rcur 13796  SRingcsrg 13800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-seqfrec 10615  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-minusg 13411  df-mulg 13531  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-srg 13801

This theorem is referenced by:  srgpcompp  13828