Theorem trivnsgd 13951

Description: The only normal subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivnsgd.1	|- B = ( Base ` G )
trivnsgd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
trivnsgd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
trivnsgd.4	|- ( ph -> B = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
trivnsgd	|- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) = { B } )

Proof of Theorem trivnsgd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13939	. . . . 5 |- ( x e. (NrmSGrp ` G ) -> x e. (SubGrp ` G ) )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. (NrmSGrp ` G ) -> x e. (SubGrp ` G ) ) )
3	2	ssrdv 3246	. . 3 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) C_ (SubGrp ` G ) )
4		trivnsgd.1	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
5		trivnsgd.2	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
6		trivnsgd.3	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
7		trivnsgd.4	. . . 4 |- ( ph -> B = { .0. } )
8	4, 5, 6, 7	trivsubgsnd 13935	. . 3 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) = { B } )
9	3, 8	sseqtrd 3278	. 2 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) C_ { B } )
10	4	nsgid 13949	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
11	6, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
12	11	snssd 3841	. 2 |- ( ph -> { B } C_ (NrmSGrp ` G ) )
13	9, 12	eqssd 3257	1 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {csn 3691   ` cfv 5354   Basecbs 13229   0gc0g 13486   Grpcgrp 13730  SubGrpcsubg 13901  NrmSGrpcnsg 13902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315  df-inn 9240  df-2 9298  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-iress 13237  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-sbg 13735  df-subg 13904  df-nsg 13905

This theorem is referenced by:  triv1nsgd  13952