Theorem trivnsgd 13106

Description: The only normal subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivnsgd.1	|- B = ( Base ` G )
trivnsgd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
trivnsgd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
trivnsgd.4	|- ( ph -> B = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
trivnsgd	|- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) = { B } )

Proof of Theorem trivnsgd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13094	. . . . 5 |- ( x e. (NrmSGrp ` G ) -> x e. (SubGrp ` G ) )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. (NrmSGrp ` G ) -> x e. (SubGrp ` G ) ) )
3	2	ssrdv 3173	. . 3 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) C_ (SubGrp ` G ) )
4		trivnsgd.1	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
5		trivnsgd.2	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
6		trivnsgd.3	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
7		trivnsgd.4	. . . 4 |- ( ph -> B = { .0. } )
8	4, 5, 6, 7	trivsubgsnd 13090	. . 3 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) = { B } )
9	3, 8	sseqtrd 3205	. 2 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) C_ { B } )
10	4	nsgid 13104	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
11	6, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. (NrmSGrp ` G ) )
12	11	snssd 3749	. 2 |- ( ph -> { B } C_ (NrmSGrp ` G ) )
13	9, 12	eqssd 3184	1 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2158   {csn 3604   ` cfv 5228   Basecbs 12475   0gc0g 12722   Grpcgrp 12896  SubGrpcsubg 13056  NrmSGrpcnsg 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-iress 12483  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-subg 13059  df-nsg 13060

This theorem is referenced by:  triv1nsgd  13107