ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  trivnsgd Unicode version

Theorem trivnsgd 13122
Description: The only normal subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trivnsgd.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
trivnsgd.2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
trivnsgd.3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
trivnsgd.4  |-  ( ph  ->  B  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
trivnsgd  |-  ( ph  ->  (NrmSGrp `  G )  =  { B } )

Proof of Theorem trivnsgd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 13110 . . . . 5  |-  ( x  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  x  e.  (SubGrp `  G ) )
21a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (NrmSGrp `  G )  ->  x  e.  (SubGrp `  G )
) )
32ssrdv 3176 . . 3  |-  ( ph  ->  (NrmSGrp `  G )  C_  (SubGrp `  G )
)
4 trivnsgd.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 trivnsgd.2 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
6 trivnsgd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
7 trivnsgd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  {  .0.  } )
84, 5, 6, 7trivsubgsnd 13106 . . 3  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  =  { B } )
93, 8sseqtrd 3208 . 2  |-  ( ph  ->  (NrmSGrp `  G )  C_ 
{ B } )
104nsgid 13120 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (NrmSGrp `  G )
)
116, 10syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  (NrmSGrp `  G
) )
1211snssd 3752 . 2  |-  ( ph  ->  { B }  C_  (NrmSGrp `  G ) )
139, 12eqssd 3187 1  |-  ( ph  ->  (NrmSGrp `  G )  =  { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160   {csn 3607   ` cfv 5231   Basecbs 12480   0gc0g 12727   Grpcgrp 12911  SubGrpcsubg 13072  NrmSGrpcnsg 13073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-ltxr 8015  df-inn 8938  df-2 8996  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-sets 12487  df-iress 12488  df-plusg 12568  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-minusg 12915  df-sbg 12916  df-subg 13075  df-nsg 13076
This theorem is referenced by:  triv1nsgd  13123
  Copyright terms: Public domain W3C validator