Theorem dvaddxxbr 12873

Description: The sum rule for derivatives at a point. That is, if the derivative of F at C is K and the derivative of G at C is L, then the derivative of the pointwise sum of those two functions at C is K + L. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvaddxx.g	|- ( ph -> G : X --> CC )
dvaddbr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.bf	|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg	|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvaddcntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvaddxxbr	|- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Proof of Theorem dvaddxxbr

Dummy variables y z x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( S _D G ) L )
2		eqid 2140	. . . . 5 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
3		dvaddcntop.j	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		eqid 2140	. . . . 5 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvaddbr.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
6		dvaddxx.g	. . . . 5 |- ( ph -> G : X --> CC )
7		dvadd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldvap 12859	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
10	9	simpld 111	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
11		dvadd.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> CC )
12	7, 5	sstrd 3112	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ CC )
13	3	cntoptopon 12740	. . . . . . . . 9 |- J e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 12379	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 5, 14	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		topontop 12220	. . . . . . . 8 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. Top )
18		toponuni 12221	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S = U. ( J ↾t S ) )
20	7, 19	sseqtrd 3140	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ U. ( J ↾t S ) )
21		eqid 2140	. . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t S ) = U. ( J ↾t S )
22	21	ntrss2 12329	. . . . . . 7 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
23	17, 20, 22	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
24		dvadd.bf	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C ( S _D F ) K )
25		eqid 2140	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
26	2, 3, 25, 5, 11, 7	eldvap 12859	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
27	24, 26	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
28	27	simpld 111	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
29	23, 28	sseldd 3103	. . . . 5 |- ( ph -> C e. X )
30	11, 12, 29	dvlemap 12857	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
31	6, 12, 29	dvlemap 12857	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
32		ssidd 3123	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
33		txtopon 12470	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
34	13, 13, 33	mp2an 423	. . . . 5 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
35	34	toponrestid 12227	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
36	27	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
37	9	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
38	3	addcncntop 12760	. . . . 5 |- + e. ( ( J tX J ) Cn J )
39	5, 11, 7	dvcl 12860	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
40	24, 39	mpdan 418	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
41	5, 6, 7	dvcl 12860	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
42	1, 41	mpdan 418	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
43	40, 42	opelxpd 4580	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
44	34	toponunii 12223	. . . . . 6 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
45	44	cncnpi 12436	. . . . 5 |- ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
46	38, 43, 45	sylancr 411	. . . 4 |- ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
47	30, 31, 32, 32, 3, 35, 36, 37, 46	limccnp2cntop 12854	. . 3 |- ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
48		elrabi 2841	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z e. X )
49	48	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. X )
50	11	ffnd 5281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F Fn X )
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F Fn X )
52	6	ffnd 5281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G Fn X )
53	52	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G Fn X )
54		cnex 7768	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
55		ssexg 4075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
56	12, 54, 55	sylancl 410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. _V )
57	56	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> X e. _V )
58		inidm 3290	. . . . . . . . . . 11 |- ( X i^i X ) = X
59		eqidd 2141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
60		eqidd 2141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
61	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F : X --> CC )
62	61	ffvelrnda 5563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
63	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G : X --> CC )
64	63	ffvelrnda 5563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) e. CC )
65	62, 64	addcld 7809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) e. CC )
66	51, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 65	ofvalg 5999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
67	49, 66	mpdan 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
68		eqidd 2141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
69		eqidd 2141	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
70	61	ffvelrnda 5563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) e. CC )
71	63	ffvelrnda 5563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) e. CC )
72	70, 71	addcld 7809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) e. CC )
73	51, 53, 57, 57, 58, 68, 69, 72	ofvalg 5999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
74	29, 73	mpidan 420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
75	67, 74	oveq12d 5800	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) )
76		ffvelrn 5561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X --> CC /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
77	11, 48, 76	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
78	63, 49	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
79	11, 29	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
80	79	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` C ) e. CC )
81	6, 29	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
82	81	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
83	77, 78, 80, 82	addsub4d 8144	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
84	75, 83	eqtrd 2173	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
85	84	oveq1d 5797	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
86	61, 49	ffvelrnd 5564	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
87	86, 80	subcld 8097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
88	78, 82	subcld 8097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
89		ssrab2 3187	. . . . . . . . . 10 |- { w e. X | w # C } C_ X
90	89, 12	sstrid 3113	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { w e. X | w # C } C_ CC )
91	90	sselda 3102	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. CC )
92	12, 29	sseldd 3103	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
93	92	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> C e. CC )
94	91, 93	subcld 8097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) e. CC )
95		breq1 3940	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( w # C <-> z # C ) )
96	95	elrab 2844	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { w e. X | w # C } <-> ( z e. X /\ z # C ) )
97	96	simprbi 273	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z # C )
98	97	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z # C )
99	91, 93, 98	subap0d 8430	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) # 0 )
100	87, 88, 94, 99	divdirapd 8613	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
101	85, 100	eqtrd 2173	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
102	101	mpteq2dva 4026	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) )
103	102	oveq1d 5797	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
104	47, 103	eleqtrrd 2220	. 2 |- ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
105		eqid 2140	. . 3 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
106		addcl 7769	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
107	106	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
108	107, 11, 6, 56, 56, 58	off 6002	. . 3 |- ( ph -> ( F oF + G ) : X --> CC )
109	2, 3, 105, 5, 108, 7	eldvap 12859	. 2 |- ( ph -> ( C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
110	10, 104, 109	mpbir2and 929	1 |- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   {crab 2421   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   <.cop 3535   U.cuni 3744   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   X. cxp 4545   o. ccom 4551   Fn wfn 5126   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   oFcof 5988   CCcc 7642   + caddc 7647   - cmin 7957   # cap 8367   / cdiv 8456   abscabs 10801   ↾_t crest 12159   MetOpencmopn 12193   Topctop 12203  TopOnctopon 12216   intcnt 12301   Cn ccn 12393   CnP ccnp 12394   tX ctx 12460   lim CC climc 12831   _D cdv 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-addf 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-of 5990  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-map 6552  df-pm 6553  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-ntr 12304  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-tx 12461  df-limced 12833  df-dvap 12834

This theorem is referenced by:  dvaddxx  12875  dviaddf  12877