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Theorem dvaddxxbr 12740
Description: The sum rule for derivatives at a point. That is, if the derivative of  F at  C is  K and the derivative of  G at  C is  L, then the derivative of the pointwise sum of those two functions at  C is  K  +  L. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvadd.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvaddxx.g  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
dvaddbr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvadd.bf  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
dvadd.bg  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
dvaddcntop.j  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
Assertion
Ref Expression
dvaddxxbr  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  oF  +  G ) ) ( K  +  L ) )

Proof of Theorem dvaddxxbr
Dummy variables  y  z  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bg . . . 4  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
2 eqid 2115 . . . . 5  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
3 dvaddcntop.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
4 eqid 2115 . . . . 5  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvaddbr.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvaddxx.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
7 dvadd.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7eldvap 12726 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  L  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) ) )
91, 8mpbid 146 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  L  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) )
109simpld 111 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
) )
11 dvadd.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
127, 5sstrd 3075 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
133cntoptopon 12607 . . . . . . . . 9  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
14 resttopon 12246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1513, 5, 14sylancr 408 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
16 topontop 12087 . . . . . . . 8  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
1715, 16syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
18 toponuni 12088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1915, 18syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
207, 19sseqtrd 3103 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ( Jt  S ) )
21 eqid 2115 . . . . . . . 8  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
2221ntrss2 12196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  C_  X
)
2317, 20, 22syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  C_  X
)
24 dvadd.bf . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
25 eqid 2115 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
262, 3, 25, 5, 11, 7eldvap 12726 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) K  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) ) )
2724, 26mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) )
2827simpld 111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
) )
2923, 28sseldd 3066 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
3011, 12, 29dvlemap 12724 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
316, 12, 29dvlemap 12724 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
32 ssidd 3086 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
33 txtopon 12337 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
3413, 13, 33mp2an 420 . . . . 5  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
3534toponrestid 12094 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
3627simprd 113 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
379simprd 113 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
383addcncntop 12627 . . . . 5  |-  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
395, 11, 7dvcl 12727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
4024, 39mpdan 415 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
415, 6, 7dvcl 12727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
421, 41mpdan 415 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
4340, 42opelxpd 4540 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
4434toponunii 12090 . . . . . 6  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
4544cncnpi 12303 . . . . 5  |-  ( (  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  L >. )
)
4638, 43, 45sylancr 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  L >. ) )
4730, 31, 32, 32, 3, 35, 36, 37, 46limccnp2cntop 12721 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  +  L
)  e.  ( ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) lim
CC  C ) )
48 elrabi 2808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  ->  z  e.  X
)
4948adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
z  e.  X )
5011ffnd 5241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
5150adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  F  Fn  X )
526ffnd 5241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  X )
5352adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  G  Fn  X )
54 cnex 7708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
55 ssexg 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
5612, 54, 55sylancl 407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
5756adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  X  e.  _V )
58 inidm 3253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  X )  =  X
59 eqidd 2116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
60 eqidd 2116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
6111adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  F : X --> CC )
6261ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
636adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  G : X --> CC )
6463ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
6562, 64addcld 7749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  +  ( G `
 z ) )  e.  CC )
6651, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 65ofvalg 5957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F  oF  +  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) ) )
6749, 66mpdan 415 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( F  oF  +  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) ) )
68 eqidd 2116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C )  =  ( F `  C ) )
69 eqidd 2116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  ( G `  C )  =  ( G `  C ) )
7061ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
7163ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  ( G `  C )  e.  CC )
7270, 71addcld 7749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  (
( F `  C
)  +  ( G `
 C ) )  e.  CC )
7351, 53, 57, 57, 58, 68, 69, 72ofvalg 5957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  (
( F  oF  +  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )
7429, 73mpidan 417 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( F  oF  +  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )
7567, 74oveq12d 5758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( F  oF  +  G
) `  z )  -  ( ( F  oF  +  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  +  ( G `  C
) ) ) )
76 ffvelrn 5519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> CC  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
7711, 48, 76syl2an 285 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
7863, 49ffvelrnd 5522 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
7911, 29ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
8079adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
816, 29ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
8281adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
8377, 78, 80, 82addsub4d 8084 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( F `
 z )  +  ( G `  z
) )  -  (
( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
8475, 83eqtrd 2148 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( F  oF  +  G
) `  z )  -  ( ( F  oF  +  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
8584oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  oF  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  +  ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
8661, 49ffvelrnd 5522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
8786, 80subcld 8037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
8878, 82subcld 8037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  e.  CC )
89 ssrab2 3150 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  X  |  w #  C }  C_  X
9089, 12sstrid 3076 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { w  e.  X  |  w #  C }  C_  CC )
9190sselda 3065 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
z  e.  CC )
9212, 29sseldd 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
9392adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  C  e.  CC )
9491, 93subcld 8037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
95 breq1 3900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
w #  C  <->  z #  C
) )
9695elrab 2811 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } 
<->  ( z  e.  X  /\  z #  C )
)
9796simprbi 271 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  ->  z #  C )
9897adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
z #  C )
9991, 93, 98subap0d 8369 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( z  -  C
) #  0 )
10087, 88, 94, 99divdirapd 8552 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  +  ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
10185, 100eqtrd 2148 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  oF  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
102101mpteq2dva 3986 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  {
w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z )  -  (
( F  oF  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) )
103102oveq1d 5755 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  oF  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) ) ) lim CC  C
)  =  ( ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) lim
CC  C ) )
10447, 103eleqtrrd 2195 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  +  L
)  e.  ( ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z )  -  (
( F  oF  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
105 eqid 2115 . . 3  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z )  -  (
( F  oF  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z )  -  (
( F  oF  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )
106 addcl 7709 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
107106adantl 273 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
108107, 11, 6, 56, 56, 58off 5960 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G ) : X --> CC )
1092, 3, 105, 5, 108, 7eldvap 12726 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  ( F  oF  +  G )
) ( K  +  L )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  ( K  +  L )  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  oF  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) ) ) lim CC  C
) ) ) )
11010, 104, 109mpbir2and 911 1  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  oF  +  G ) ) ( K  +  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   {crab 2395   _Vcvv 2658    C_ wss 3039   <.cop 3498   U.cuni 3704   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957    X. cxp 4505    o. ccom 4511    Fn wfn 5086   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    oFcof 5946   CCcc 7582    + caddc 7587    - cmin 7897   # cap 8306    / cdiv 8395   abscabs 10720   ↾t crest 12026   MetOpencmopn 12060   Topctop 12070  TopOnctopon 12083   intcnt 12168    Cn ccn 12260    CnP ccnp 12261    tX ctx 12327   lim CC climc 12698    _D cdv 12699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704  ax-addf 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-of 5948  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-map 6510  df-pm 6511  df-sup 6837  df-inf 6838  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-xneg 9510  df-xadd 9511  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-rest 12028  df-topgen 12047  df-psmet 12062  df-xmet 12063  df-met 12064  df-bl 12065  df-mopn 12066  df-top 12071  df-topon 12084  df-bases 12116  df-ntr 12171  df-cn 12263  df-cnp 12264  df-tx 12328  df-limced 12700  df-dvap 12701
This theorem is referenced by:  dvaddxx  12742  dviaddf  12744
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