Theorem dvaddxxbr 15288

Description: The sum rule for derivatives at a point. That is, if the derivative of F at C is K and the derivative of G at C is L, then the derivative of the pointwise sum of those two functions at C is K + L. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvaddxx.g	|- ( ph -> G : X --> CC )
dvaddbr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.bf	|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg	|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvaddcntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvaddxxbr	|- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Proof of Theorem dvaddxxbr

Dummy variables y z x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( S _D G ) L )
2		eqid 2207	. . . . 5 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
3		dvaddcntop.j	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		eqid 2207	. . . . 5 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvaddbr.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
6		dvaddxx.g	. . . . 5 |- ( ph -> G : X --> CC )
7		dvadd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldvap 15269	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
10	9	simpld 112	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
11		dvadd.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> CC )
12	7, 5	sstrd 3211	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ CC )
13	3	cntoptopon 15119	. . . . . . . . 9 |- J e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 14758	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 5, 14	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		topontop 14601	. . . . . . . 8 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. Top )
18		toponuni 14602	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S = U. ( J ↾t S ) )
20	7, 19	sseqtrd 3239	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ U. ( J ↾t S ) )
21		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t S ) = U. ( J ↾t S )
22	21	ntrss2 14708	. . . . . . 7 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
23	17, 20, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
24		dvadd.bf	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C ( S _D F ) K )
25		eqid 2207	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
26	2, 3, 25, 5, 11, 7	eldvap 15269	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
27	24, 26	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
28	27	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
29	23, 28	sseldd 3202	. . . . 5 |- ( ph -> C e. X )
30	11, 12, 29	dvlemap 15267	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
31	6, 12, 29	dvlemap 15267	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
32		ssidd 3222	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
33		txtopon 14849	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
34	13, 13, 33	mp2an 426	. . . . 5 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
35	34	toponrestid 14608	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
36	27	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
37	9	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
38	3	addcncntop 15149	. . . . 5 |- + e. ( ( J tX J ) Cn J )
39	5, 11, 7	dvcl 15270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
40	24, 39	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
41	5, 6, 7	dvcl 15270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
42	1, 41	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
43	40, 42	opelxpd 4726	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
44	34	toponunii 14604	. . . . . 6 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
45	44	cncnpi 14815	. . . . 5 |- ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
46	38, 43, 45	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
47	30, 31, 32, 32, 3, 35, 36, 37, 46	limccnp2cntop 15264	. . 3 |- ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
48		elrabi 2933	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z e. X )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. X )
50	11	ffnd 5446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F Fn X )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F Fn X )
52	6	ffnd 5446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G Fn X )
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G Fn X )
54		cnex 8084	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
55		ssexg 4199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
56	12, 54, 55	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. _V )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> X e. _V )
58		inidm 3390	. . . . . . . . . . 11 |- ( X i^i X ) = X
59		eqidd 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
60		eqidd 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
61	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F : X --> CC )
62	61	ffvelcdmda 5738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
63	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G : X --> CC )
64	63	ffvelcdmda 5738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) e. CC )
65	62, 64	addcld 8127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) e. CC )
66	51, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 65	ofvalg 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
67	49, 66	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
68		eqidd 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
69		eqidd 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
70	61	ffvelcdmda 5738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) e. CC )
71	63	ffvelcdmda 5738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) e. CC )
72	70, 71	addcld 8127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) e. CC )
73	51, 53, 57, 57, 58, 68, 69, 72	ofvalg 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
74	29, 73	mpidan 423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
75	67, 74	oveq12d 5985	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) )
76		ffvelcdm 5736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X --> CC /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
77	11, 48, 76	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
78	63, 49	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
79	11, 29	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
80	79	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` C ) e. CC )
81	6, 29	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
82	81	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
83	77, 78, 80, 82	addsub4d 8465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
84	75, 83	eqtrd 2240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
85	84	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
86	61, 49	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
87	86, 80	subcld 8418	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
88	78, 82	subcld 8418	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
89		ssrab2 3286	. . . . . . . . . 10 |- { w e. X | w # C } C_ X
90	89, 12	sstrid 3212	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { w e. X | w # C } C_ CC )
91	90	sselda 3201	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. CC )
92	12, 29	sseldd 3202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
93	92	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> C e. CC )
94	91, 93	subcld 8418	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) e. CC )
95		breq1 4062	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( w # C <-> z # C ) )
96	95	elrab 2936	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { w e. X | w # C } <-> ( z e. X /\ z # C ) )
97	96	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z # C )
98	97	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z # C )
99	91, 93, 98	subap0d 8752	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) # 0 )
100	87, 88, 94, 99	divdirapd 8937	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
101	85, 100	eqtrd 2240	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
102	101	mpteq2dva 4150	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) )
103	102	oveq1d 5982	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
104	47, 103	eleqtrrd 2287	. 2 |- ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
105		eqid 2207	. . 3 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
106		addcl 8085	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
107	106	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
108	107, 11, 6, 56, 56, 58	off 6194	. . 3 |- ( ph -> ( F oF + G ) : X --> CC )
109	2, 3, 105, 5, 108, 7	eldvap 15269	. 2 |- ( ph -> ( C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
110	10, 104, 109	mpbir2and 947	1 |- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {crab 2490   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   <.cop 3646   U.cuni 3864   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   X. cxp 4691   o. ccom 4697   Fn wfn 5285   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   oFcof 6179   CCcc 7958   + caddc 7963   - cmin 8278   # cap 8689   / cdiv 8780   abscabs 11423   ↾_t crest 13186   MetOpencmopn 14418   Topctop 14584  TopOnctopon 14597   intcnt 14680   Cn ccn 14772   CnP ccnp 14773   tX ctx 14839   lim CC climc 15241   _D cdv 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080  ax-addf 8082

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-map 6760  df-pm 6761  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-ntr 14683  df-cn 14775  df-cnp 14776  df-tx 14840  df-limced 15243  df-dvap 15244

This theorem is referenced by:  dvaddxx  15290  dviaddf  15292