Theorem dvaddxxbr 15375

Description: The sum rule for derivatives at a point. That is, if the derivative of F at C is K and the derivative of G at C is L, then the derivative of the pointwise sum of those two functions at C is K + L. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvaddxx.g	|- ( ph -> G : X --> CC )
dvaddbr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.bf	|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg	|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvaddcntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvaddxxbr	|- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Proof of Theorem dvaddxxbr

Dummy variables y z x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( S _D G ) L )
2		eqid 2229	. . . . 5 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
3		dvaddcntop.j	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		eqid 2229	. . . . 5 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvaddbr.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
6		dvaddxx.g	. . . . 5 |- ( ph -> G : X --> CC )
7		dvadd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldvap 15356	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
10	9	simpld 112	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
11		dvadd.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> CC )
12	7, 5	sstrd 3234	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ CC )
13	3	cntoptopon 15206	. . . . . . . . 9 |- J e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 14845	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 5, 14	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		topontop 14688	. . . . . . . 8 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. Top )
18		toponuni 14689	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S = U. ( J ↾t S ) )
20	7, 19	sseqtrd 3262	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ U. ( J ↾t S ) )
21		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t S ) = U. ( J ↾t S )
22	21	ntrss2 14795	. . . . . . 7 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
23	17, 20, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
24		dvadd.bf	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C ( S _D F ) K )
25		eqid 2229	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
26	2, 3, 25, 5, 11, 7	eldvap 15356	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
27	24, 26	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
28	27	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
29	23, 28	sseldd 3225	. . . . 5 |- ( ph -> C e. X )
30	11, 12, 29	dvlemap 15354	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
31	6, 12, 29	dvlemap 15354	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
32		ssidd 3245	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
33		txtopon 14936	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
34	13, 13, 33	mp2an 426	. . . . 5 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
35	34	toponrestid 14695	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
36	27	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
37	9	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
38	3	addcncntop 15236	. . . . 5 |- + e. ( ( J tX J ) Cn J )
39	5, 11, 7	dvcl 15357	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
40	24, 39	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
41	5, 6, 7	dvcl 15357	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
42	1, 41	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
43	40, 42	opelxpd 4752	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
44	34	toponunii 14691	. . . . . 6 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
45	44	cncnpi 14902	. . . . 5 |- ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
46	38, 43, 45	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
47	30, 31, 32, 32, 3, 35, 36, 37, 46	limccnp2cntop 15351	. . 3 |- ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
48		elrabi 2956	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z e. X )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. X )
50	11	ffnd 5474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F Fn X )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F Fn X )
52	6	ffnd 5474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G Fn X )
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G Fn X )
54		cnex 8123	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
55		ssexg 4223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
56	12, 54, 55	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. _V )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> X e. _V )
58		inidm 3413	. . . . . . . . . . 11 |- ( X i^i X ) = X
59		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
60		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
61	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F : X --> CC )
62	61	ffvelcdmda 5770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
63	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G : X --> CC )
64	63	ffvelcdmda 5770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) e. CC )
65	62, 64	addcld 8166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) e. CC )
66	51, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 65	ofvalg 6228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
67	49, 66	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
68		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
69		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
70	61	ffvelcdmda 5770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) e. CC )
71	63	ffvelcdmda 5770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) e. CC )
72	70, 71	addcld 8166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) e. CC )
73	51, 53, 57, 57, 58, 68, 69, 72	ofvalg 6228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
74	29, 73	mpidan 423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
75	67, 74	oveq12d 6019	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) )
76		ffvelcdm 5768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X --> CC /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
77	11, 48, 76	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
78	63, 49	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
79	11, 29	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
80	79	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` C ) e. CC )
81	6, 29	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
82	81	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
83	77, 78, 80, 82	addsub4d 8504	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
84	75, 83	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
85	84	oveq1d 6016	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
86	61, 49	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
87	86, 80	subcld 8457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
88	78, 82	subcld 8457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
89		ssrab2 3309	. . . . . . . . . 10 |- { w e. X | w # C } C_ X
90	89, 12	sstrid 3235	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { w e. X | w # C } C_ CC )
91	90	sselda 3224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. CC )
92	12, 29	sseldd 3225	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
93	92	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> C e. CC )
94	91, 93	subcld 8457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) e. CC )
95		breq1 4086	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( w # C <-> z # C ) )
96	95	elrab 2959	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { w e. X | w # C } <-> ( z e. X /\ z # C ) )
97	96	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z # C )
98	97	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z # C )
99	91, 93, 98	subap0d 8791	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) # 0 )
100	87, 88, 94, 99	divdirapd 8976	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
101	85, 100	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
102	101	mpteq2dva 4174	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) )
103	102	oveq1d 6016	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
104	47, 103	eleqtrrd 2309	. 2 |- ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
105		eqid 2229	. . 3 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
106		addcl 8124	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
107	106	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
108	107, 11, 6, 56, 56, 58	off 6231	. . 3 |- ( ph -> ( F oF + G ) : X --> CC )
109	2, 3, 105, 5, 108, 7	eldvap 15356	. 2 |- ( ph -> ( C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
110	10, 104, 109	mpbir2and 950	1 |- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   <.cop 3669   U.cuni 3888   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   o. ccom 4723   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   oFcof 6216   CCcc 7997   + caddc 8002   - cmin 8317   # cap 8728   / cdiv 8819   abscabs 11508   ↾_t crest 13272   MetOpencmopn 14505   Topctop 14671  TopOnctopon 14684   intcnt 14767   Cn ccn 14859   CnP ccnp 14860   tX ctx 14926   lim CC climc 15328   _D cdv 15329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119  ax-addf 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-of 6218  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-map 6797  df-pm 6798  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-xneg 9968  df-xadd 9969  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-rest 13274  df-topgen 13293  df-psmet 14507  df-xmet 14508  df-met 14509  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-top 14672  df-topon 14685  df-bases 14717  df-ntr 14770  df-cn 14862  df-cnp 14863  df-tx 14927  df-limced 15330  df-dvap 15331

This theorem is referenced by:  dvaddxx  15377  dviaddf  15379