Theorem dvaddxxbr 13305

Description: The sum rule for derivatives at a point. That is, if the derivative of F at C is K and the derivative of G at C is L, then the derivative of the pointwise sum of those two functions at C is K + L. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvaddxx.g	|- ( ph -> G : X --> CC )
dvaddbr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.bf	|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg	|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvaddcntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvaddxxbr	|- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Proof of Theorem dvaddxxbr

Dummy variables y z x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( S _D G ) L )
2		eqid 2165	. . . . 5 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
3		dvaddcntop.j	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		eqid 2165	. . . . 5 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvaddbr.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
6		dvaddxx.g	. . . . 5 |- ( ph -> G : X --> CC )
7		dvadd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldvap 13291	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
10	9	simpld 111	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
11		dvadd.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> CC )
12	7, 5	sstrd 3152	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ CC )
13	3	cntoptopon 13172	. . . . . . . . 9 |- J e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 12811	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 5, 14	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		topontop 12652	. . . . . . . 8 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. Top )
18		toponuni 12653	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S = U. ( J ↾t S ) )
20	7, 19	sseqtrd 3180	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ U. ( J ↾t S ) )
21		eqid 2165	. . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t S ) = U. ( J ↾t S )
22	21	ntrss2 12761	. . . . . . 7 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
23	17, 20, 22	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
24		dvadd.bf	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C ( S _D F ) K )
25		eqid 2165	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
26	2, 3, 25, 5, 11, 7	eldvap 13291	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
27	24, 26	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
28	27	simpld 111	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
29	23, 28	sseldd 3143	. . . . 5 |- ( ph -> C e. X )
30	11, 12, 29	dvlemap 13289	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
31	6, 12, 29	dvlemap 13289	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
32		ssidd 3163	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
33		txtopon 12902	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
34	13, 13, 33	mp2an 423	. . . . 5 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
35	34	toponrestid 12659	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
36	27	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
37	9	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
38	3	addcncntop 13192	. . . . 5 |- + e. ( ( J tX J ) Cn J )
39	5, 11, 7	dvcl 13292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
40	24, 39	mpdan 418	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
41	5, 6, 7	dvcl 13292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
42	1, 41	mpdan 418	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
43	40, 42	opelxpd 4637	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
44	34	toponunii 12655	. . . . . 6 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
45	44	cncnpi 12868	. . . . 5 |- ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
46	38, 43, 45	sylancr 411	. . . 4 |- ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
47	30, 31, 32, 32, 3, 35, 36, 37, 46	limccnp2cntop 13286	. . 3 |- ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
48		elrabi 2879	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z e. X )
49	48	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. X )
50	11	ffnd 5338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F Fn X )
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F Fn X )
52	6	ffnd 5338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G Fn X )
53	52	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G Fn X )
54		cnex 7877	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
55		ssexg 4121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
56	12, 54, 55	sylancl 410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. _V )
57	56	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> X e. _V )
58		inidm 3331	. . . . . . . . . . 11 |- ( X i^i X ) = X
59		eqidd 2166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
60		eqidd 2166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
61	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F : X --> CC )
62	61	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
63	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G : X --> CC )
64	63	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) e. CC )
65	62, 64	addcld 7918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) e. CC )
66	51, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 65	ofvalg 6059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
67	49, 66	mpdan 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
68		eqidd 2166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
69		eqidd 2166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
70	61	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) e. CC )
71	63	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) e. CC )
72	70, 71	addcld 7918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) e. CC )
73	51, 53, 57, 57, 58, 68, 69, 72	ofvalg 6059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
74	29, 73	mpidan 420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
75	67, 74	oveq12d 5860	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) )
76		ffvelrn 5618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X --> CC /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
77	11, 48, 76	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
78	63, 49	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
79	11, 29	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
80	79	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` C ) e. CC )
81	6, 29	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
82	81	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
83	77, 78, 80, 82	addsub4d 8256	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
84	75, 83	eqtrd 2198	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
85	84	oveq1d 5857	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
86	61, 49	ffvelrnd 5621	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
87	86, 80	subcld 8209	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
88	78, 82	subcld 8209	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
89		ssrab2 3227	. . . . . . . . . 10 |- { w e. X | w # C } C_ X
90	89, 12	sstrid 3153	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { w e. X | w # C } C_ CC )
91	90	sselda 3142	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. CC )
92	12, 29	sseldd 3143	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
93	92	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> C e. CC )
94	91, 93	subcld 8209	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) e. CC )
95		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( w # C <-> z # C ) )
96	95	elrab 2882	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { w e. X | w # C } <-> ( z e. X /\ z # C ) )
97	96	simprbi 273	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z # C )
98	97	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z # C )
99	91, 93, 98	subap0d 8542	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) # 0 )
100	87, 88, 94, 99	divdirapd 8725	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
101	85, 100	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
102	101	mpteq2dva 4072	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) )
103	102	oveq1d 5857	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
104	47, 103	eleqtrrd 2246	. 2 |- ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
105		eqid 2165	. . 3 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
106		addcl 7878	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
107	106	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
108	107, 11, 6, 56, 56, 58	off 6062	. . 3 |- ( ph -> ( F oF + G ) : X --> CC )
109	2, 3, 105, 5, 108, 7	eldvap 13291	. 2 |- ( ph -> ( C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
110	10, 104, 109	mpbir2and 934	1 |- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   {crab 2448   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   <.cop 3579   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   X. cxp 4602   o. ccom 4608   Fn wfn 5183   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   oFcof 6048   CCcc 7751   + caddc 7756   - cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568   abscabs 10939   ↾_t crest 12556   MetOpencmopn 12625   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   intcnt 12733   Cn ccn 12825   CnP ccnp 12826   tX ctx 12892   lim CC climc 13263   _D cdv 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-addf 7875

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-pm 6617  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-limced 13265  df-dvap 13266

This theorem is referenced by:  dvaddxx  13307  dviaddf  13309