Theorem dvaddxxbr 15206

Description: The sum rule for derivatives at a point. That is, if the derivative of F at C is K and the derivative of G at C is L, then the derivative of the pointwise sum of those two functions at C is K + L. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvaddxx.g	|- ( ph -> G : X --> CC )
dvaddbr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.bf	|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg	|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvaddcntop.j	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvaddxxbr	|- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Proof of Theorem dvaddxxbr

Dummy variables y z x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( S _D G ) L )
2		eqid 2205	. . . . 5 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
3		dvaddcntop.j	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		eqid 2205	. . . . 5 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvaddbr.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
6		dvaddxx.g	. . . . 5 |- ( ph -> G : X --> CC )
7		dvadd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldvap 15187	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
10	9	simpld 112	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
11		dvadd.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> CC )
12	7, 5	sstrd 3203	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ CC )
13	3	cntoptopon 15037	. . . . . . . . 9 |- J e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 14676	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 5, 14	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		topontop 14519	. . . . . . . 8 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. Top )
18		toponuni 14520	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S = U. ( J ↾t S ) )
20	7, 19	sseqtrd 3231	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ U. ( J ↾t S ) )
21		eqid 2205	. . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t S ) = U. ( J ↾t S )
22	21	ntrss2 14626	. . . . . . 7 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
23	17, 20, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
24		dvadd.bf	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C ( S _D F ) K )
25		eqid 2205	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
26	2, 3, 25, 5, 11, 7	eldvap 15187	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
27	24, 26	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
28	27	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
29	23, 28	sseldd 3194	. . . . 5 |- ( ph -> C e. X )
30	11, 12, 29	dvlemap 15185	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
31	6, 12, 29	dvlemap 15185	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
32		ssidd 3214	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
33		txtopon 14767	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
34	13, 13, 33	mp2an 426	. . . . 5 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
35	34	toponrestid 14526	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
36	27	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
37	9	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
38	3	addcncntop 15067	. . . . 5 |- + e. ( ( J tX J ) Cn J )
39	5, 11, 7	dvcl 15188	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
40	24, 39	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
41	5, 6, 7	dvcl 15188	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
42	1, 41	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
43	40, 42	opelxpd 4709	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
44	34	toponunii 14522	. . . . . 6 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
45	44	cncnpi 14733	. . . . 5 |- ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
46	38, 43, 45	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
47	30, 31, 32, 32, 3, 35, 36, 37, 46	limccnp2cntop 15182	. . 3 |- ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
48		elrabi 2926	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z e. X )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. X )
50	11	ffnd 5428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F Fn X )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F Fn X )
52	6	ffnd 5428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G Fn X )
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G Fn X )
54		cnex 8051	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
55		ssexg 4184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
56	12, 54, 55	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. _V )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> X e. _V )
58		inidm 3382	. . . . . . . . . . 11 |- ( X i^i X ) = X
59		eqidd 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
60		eqidd 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
61	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> F : X --> CC )
62	61	ffvelcdmda 5717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
63	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> G : X --> CC )
64	63	ffvelcdmda 5717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( G ` z ) e. CC )
65	62, 64	addcld 8094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) e. CC )
66	51, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 65	ofvalg 6170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ z e. X ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
67	49, 66	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
68		eqidd 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
69		eqidd 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
70	61	ffvelcdmda 5717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) e. CC )
71	63	ffvelcdmda 5717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( G ` C ) e. CC )
72	70, 71	addcld 8094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) e. CC )
73	51, 53, 57, 57, 58, 68, 69, 72	ofvalg 6170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) /\ C e. X ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
74	29, 73	mpidan 423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
75	67, 74	oveq12d 5964	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) )
76		ffvelcdm 5715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X --> CC /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
77	11, 48, 76	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
78	63, 49	ffvelcdmd 5718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` z ) e. CC )
79	11, 29	ffvelcdmd 5718	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
80	79	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` C ) e. CC )
81	6, 29	ffvelcdmd 5718	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
82	81	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( G ` C ) e. CC )
83	77, 78, 80, 82	addsub4d 8432	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
84	75, 83	eqtrd 2238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
85	84	oveq1d 5961	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
86	61, 49	ffvelcdmd 5718	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( F ` z ) e. CC )
87	86, 80	subcld 8385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
88	78, 82	subcld 8385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
89		ssrab2 3278	. . . . . . . . . 10 |- { w e. X | w # C } C_ X
90	89, 12	sstrid 3204	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { w e. X | w # C } C_ CC )
91	90	sselda 3193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z e. CC )
92	12, 29	sseldd 3194	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
93	92	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> C e. CC )
94	91, 93	subcld 8385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) e. CC )
95		breq1 4048	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( w # C <-> z # C ) )
96	95	elrab 2929	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { w e. X | w # C } <-> ( z e. X /\ z # C ) )
97	96	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { w e. X | w # C } -> z # C )
98	97	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> z # C )
99	91, 93, 98	subap0d 8719	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( z - C ) # 0 )
100	87, 88, 94, 99	divdirapd 8904	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
101	85, 100	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. { w e. X | w # C } ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
102	101	mpteq2dva 4135	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) )
103	102	oveq1d 5961	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
104	47, 103	eleqtrrd 2285	. 2 |- ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
105		eqid 2205	. . 3 |- ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
106		addcl 8052	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
107	106	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
108	107, 11, 6, 56, 56, 58	off 6173	. . 3 |- ( ph -> ( F oF + G ) : X --> CC )
109	2, 3, 105, 5, 108, 7	eldvap 15187	. 2 |- ( ph -> ( C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ ( K + L ) e. ( ( z e. { w e. X | w # C } |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
110	10, 104, 109	mpbir2and 947	1 |- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   <.cop 3636   U.cuni 3850   class class class wbr 4045   |-> cmpt 4106   X. cxp 4674   o. ccom 4680   Fn wfn 5267   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   oFcof 6158   CCcc 7925   + caddc 7930   - cmin 8245   # cap 8656   / cdiv 8747   abscabs 11341   ↾_t crest 13104   MetOpencmopn 14336   Topctop 14502  TopOnctopon 14515   intcnt 14598   Cn ccn 14690   CnP ccnp 14691   tX ctx 14757   lim CC climc 15159   _D cdv 15160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047  ax-addf 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-of 6160  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-map 6739  df-pm 6740  df-sup 7088  df-inf 7089  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-xneg 9896  df-xadd 9897  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-rest 13106  df-topgen 13125  df-psmet 14338  df-xmet 14339  df-met 14340  df-bl 14341  df-mopn 14342  df-top 14503  df-topon 14516  df-bases 14548  df-ntr 14601  df-cn 14693  df-cnp 14694  df-tx 14758  df-limced 15161  df-dvap 15162

This theorem is referenced by:  dvaddxx  15208  dviaddf  15210