Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvaddxxbr Unicode version

 Description: The sum rule for derivatives at a point. That is, if the derivative of at is and the derivative of at is , then the derivative of the pointwise sum of those two functions at is . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bg . . . 4
2 eqid 2157 . . . . 5 t t
3 dvaddcntop.j . . . . 5
4 eqid 2157 . . . . 5 # #
5 dvaddbr.s . . . . 5
6 dvaddxx.g . . . . 5
7 dvadd.x . . . . 5
82, 3, 4, 5, 6, 7eldvap 13011 . . . 4 t # lim
91, 8mpbid 146 . . 3 t # lim
109simpld 111 . 2 t
11 dvadd.f . . . . 5
127, 5sstrd 3138 . . . . 5
133cntoptopon 12892 . . . . . . . . 9 TopOn
14 resttopon 12531 . . . . . . . . 9 TopOn t TopOn
1513, 5, 14sylancr 411 . . . . . . . 8 t TopOn
16 topontop 12372 . . . . . . . 8 t TopOn t
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 t
18 toponuni 12373 . . . . . . . . 9 t TopOn t
1915, 18syl 14 . . . . . . . 8 t
207, 19sseqtrd 3166 . . . . . . 7 t
21 eqid 2157 . . . . . . . 8 t t
2221ntrss2 12481 . . . . . . 7 t t t
2317, 20, 22syl2anc 409 . . . . . 6 t
24 dvadd.bf . . . . . . . 8
25 eqid 2157 . . . . . . . . 9 # #
262, 3, 25, 5, 11, 7eldvap 13011 . . . . . . . 8 t # lim
2724, 26mpbid 146 . . . . . . 7 t # lim
2827simpld 111 . . . . . 6 t
2923, 28sseldd 3129 . . . . 5
3011, 12, 29dvlemap 13009 . . . 4 #
316, 12, 29dvlemap 13009 . . . 4 #
32 ssidd 3149 . . . 4
33 txtopon 12622 . . . . . 6 TopOn TopOn TopOn
3413, 13, 33mp2an 423 . . . . 5 TopOn
3534toponrestid 12379 . . . 4 t
3627simprd 113 . . . 4 # lim
379simprd 113 . . . 4 # lim
383addcncntop 12912 . . . . 5
395, 11, 7dvcl 13012 . . . . . . 7
4024, 39mpdan 418 . . . . . 6
415, 6, 7dvcl 13012 . . . . . . 7
421, 41mpdan 418 . . . . . 6
4340, 42opelxpd 4616 . . . . 5
4434toponunii 12375 . . . . . 6
4544cncnpi 12588 . . . . 5
4638, 43, 45sylancr 411 . . . 4
4730, 31, 32, 32, 3, 35, 36, 37, 46limccnp2cntop 13006 . . 3 # lim
48 elrabi 2865 . . . . . . . . . . 11 #
4948adantl 275 . . . . . . . . . 10 #
5011ffnd 5317 . . . . . . . . . . . 12
5150adantr 274 . . . . . . . . . . 11 #
526ffnd 5317 . . . . . . . . . . . 12
5352adantr 274 . . . . . . . . . . 11 #
54 cnex 7839 . . . . . . . . . . . . 13
55 ssexg 4103 . . . . . . . . . . . . 13
5612, 54, 55sylancl 410 . . . . . . . . . . . 12
5756adantr 274 . . . . . . . . . . 11 #
58 inidm 3316 . . . . . . . . . . 11
59 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 #
60 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 #
6111adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 #
6261ffvelrnda 5599 . . . . . . . . . . . 12 #
636adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 #
6463ffvelrnda 5599 . . . . . . . . . . . 12 #
6562, 64addcld 7880 . . . . . . . . . . 11 #
6651, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 65ofvalg 6035 . . . . . . . . . 10 #
6749, 66mpdan 418 . . . . . . . . 9 #
68 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 #
69 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 #
7061ffvelrnda 5599 . . . . . . . . . . . 12 #
7163ffvelrnda 5599 . . . . . . . . . . . 12 #
7270, 71addcld 7880 . . . . . . . . . . 11 #
7351, 53, 57, 57, 58, 68, 69, 72ofvalg 6035 . . . . . . . . . 10 #
7429, 73mpidan 420 . . . . . . . . 9 #
7567, 74oveq12d 5836 . . . . . . . 8 #
76 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . 10
7711, 48, 76syl2an 287 . . . . . . . . 9 #
7863, 49ffvelrnd 5600 . . . . . . . . 9 #
7911, 29ffvelrnd 5600 . . . . . . . . . 10
8079adantr 274 . . . . . . . . 9 #
816, 29ffvelrnd 5600 . . . . . . . . . 10
8281adantr 274 . . . . . . . . 9 #
8377, 78, 80, 82addsub4d 8216 . . . . . . . 8 #
8475, 83eqtrd 2190 . . . . . . 7 #
8584oveq1d 5833 . . . . . 6 #
8661, 49ffvelrnd 5600 . . . . . . . 8 #
8786, 80subcld 8169 . . . . . . 7 #
8878, 82subcld 8169 . . . . . . 7 #
89 ssrab2 3213 . . . . . . . . . 10 #
9089, 12sstrid 3139 . . . . . . . . 9 #
9190sselda 3128 . . . . . . . 8 #
9212, 29sseldd 3129 . . . . . . . . 9
9392adantr 274 . . . . . . . 8 #
9491, 93subcld 8169 . . . . . . 7 #
95 breq1 3968 . . . . . . . . . . 11 # #
9695elrab 2868 . . . . . . . . . 10 # #
9796simprbi 273 . . . . . . . . 9 # #
9897adantl 275 . . . . . . . 8 # #
9991, 93, 98subap0d 8502 . . . . . . 7 # #
10087, 88, 94, 99divdirapd 8685 . . . . . 6 #
10185, 100eqtrd 2190 . . . . 5 #
102101mpteq2dva 4054 . . . 4 # #
103102oveq1d 5833 . . 3 # lim # lim
10447, 103eleqtrrd 2237 . 2 # lim
105 eqid 2157 . . 3 # #
106 addcl 7840 . . . . 5
107106adantl 275 . . . 4
108107, 11, 6, 56, 56, 58off 6038 . . 3
1092, 3, 105, 5, 108, 7eldvap 13011 . 2 t # lim
11010, 104, 109mpbir2and 929 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1335   wcel 2128  crab 2439  cvv 2712   wss 3102  cop 3563  cuni 3772   class class class wbr 3965   cmpt 4025   cxp 4581   ccom 4587   wfn 5162  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818   cof 6024  cc 7713   caddc 7718   cmin 8029   # cap 8439   cdiv 8528  cabs 10879   ↾t crest 12311  cmopn 12345  ctop 12355  TopOnctopon 12368  cnt 12453   ccn 12545   ccnp 12546   ctx 12612   lim climc 12983   cdv 12984 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835  ax-addf 7837 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-of 6026  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-pm 6589  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-met 12349  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-ntr 12456  df-cn 12548  df-cnp 12549  df-tx 12613  df-limced 12985  df-dvap 12986 This theorem is referenced by:  dvaddxx  13027  dviaddf  13029
 Copyright terms: Public domain W3C validator