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Theorem dvaddxxbr 14168
Description: The sum rule for derivatives at a point. That is, if the derivative of  F at  C is  K and the derivative of  G at  C is  L, then the derivative of the pointwise sum of those two functions at  C is  K  +  L. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvadd.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvaddxx.g  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
dvaddbr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvadd.bf  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
dvadd.bg  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
dvaddcntop.j  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
Assertion
Ref Expression
dvaddxxbr  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  oF  +  G ) ) ( K  +  L ) )

Proof of Theorem dvaddxxbr
Dummy variables  y  z  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bg . . . 4  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
2 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
3 dvaddcntop.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
4 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvaddbr.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvaddxx.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
7 dvadd.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7eldvap 14154 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  L  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) ) )
91, 8mpbid 147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  L  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) )
109simpld 112 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
) )
11 dvadd.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
127, 5sstrd 3166 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
133cntoptopon 14035 . . . . . . . . 9  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
14 resttopon 13674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1513, 5, 14sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
16 topontop 13517 . . . . . . . 8  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
1715, 16syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
18 toponuni 13518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1915, 18syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
207, 19sseqtrd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ( Jt  S ) )
21 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
2221ntrss2 13624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  C_  X
)
2317, 20, 22syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  C_  X
)
24 dvadd.bf . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
25 eqid 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
262, 3, 25, 5, 11, 7eldvap 14154 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) K  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) ) )
2724, 26mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) )
2827simpld 112 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
) )
2923, 28sseldd 3157 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
3011, 12, 29dvlemap 14152 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
316, 12, 29dvlemap 14152 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
32 ssidd 3177 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
33 txtopon 13765 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
3413, 13, 33mp2an 426 . . . . 5  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
3534toponrestid 13524 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
3627simprd 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
379simprd 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
383addcncntop 14055 . . . . 5  |-  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
395, 11, 7dvcl 14155 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
4024, 39mpdan 421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
415, 6, 7dvcl 14155 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
421, 41mpdan 421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
4340, 42opelxpd 4660 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
4434toponunii 13520 . . . . . 6  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
4544cncnpi 13731 . . . . 5  |-  ( (  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  L >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  L >. )
)
4638, 43, 45sylancr 414 . . . 4  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  L >. ) )
4730, 31, 32, 32, 3, 35, 36, 37, 46limccnp2cntop 14149 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  +  L
)  e.  ( ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) lim
CC  C ) )
48 elrabi 2891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  ->  z  e.  X
)
4948adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
z  e.  X )
5011ffnd 5367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
5150adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  F  Fn  X )
526ffnd 5367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  X )
5352adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  G  Fn  X )
54 cnex 7935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
55 ssexg 4143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
5612, 54, 55sylancl 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
5756adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  X  e.  _V )
58 inidm 3345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  X )  =  X
59 eqidd 2178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
60 eqidd 2178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
6111adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  F : X --> CC )
6261ffvelcdmda 5652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
636adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  G : X --> CC )
6463ffvelcdmda 5652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
6562, 64addcld 7977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  +  ( G `
 z ) )  e.  CC )
6651, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 65ofvalg 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F  oF  +  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) ) )
6749, 66mpdan 421 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( F  oF  +  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) ) )
68 eqidd 2178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C )  =  ( F `  C ) )
69 eqidd 2178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  ( G `  C )  =  ( G `  C ) )
7061ffvelcdmda 5652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
7163ffvelcdmda 5652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  ( G `  C )  e.  CC )
7270, 71addcld 7977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  (
( F `  C
)  +  ( G `
 C ) )  e.  CC )
7351, 53, 57, 57, 58, 68, 69, 72ofvalg 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }
)  /\  C  e.  X )  ->  (
( F  oF  +  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )
7429, 73mpidan 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( F  oF  +  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )
7567, 74oveq12d 5893 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( F  oF  +  G
) `  z )  -  ( ( F  oF  +  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  +  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  +  ( G `  C
) ) ) )
76 ffvelcdm 5650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> CC  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
7711, 48, 76syl2an 289 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
7863, 49ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
7911, 29ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
8079adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
816, 29ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
8281adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
8377, 78, 80, 82addsub4d 8315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( F `
 z )  +  ( G `  z
) )  -  (
( F `  C
)  +  ( G `
 C ) ) )  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
8475, 83eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( F  oF  +  G
) `  z )  -  ( ( F  oF  +  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) ) ) )
8584oveq1d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  oF  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  +  ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) ) )  /  ( z  -  C ) ) )
8661, 49ffvelcdmd 5653 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
8786, 80subcld 8268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
8878, 82subcld 8268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  e.  CC )
89 ssrab2 3241 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  X  |  w #  C }  C_  X
9089, 12sstrid 3167 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { w  e.  X  |  w #  C }  C_  CC )
9190sselda 3156 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
z  e.  CC )
9212, 29sseldd 3157 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
9392adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  ->  C  e.  CC )
9491, 93subcld 8268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
95 breq1 4007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
w #  C  <->  z #  C
) )
9695elrab 2894 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } 
<->  ( z  e.  X  /\  z #  C )
)
9796simprbi 275 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  ->  z #  C )
9897adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
z #  C )
9991, 93, 98subap0d 8601 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( z  -  C
) #  0 )
10087, 88, 94, 99divdirapd 8786 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  +  ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
10185, 100eqtrd 2210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  { w  e.  X  |  w #  C } )  -> 
( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  oF  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) )
102101mpteq2dva 4094 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  {
w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z )  -  (
( F  oF  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) )
103102oveq1d 5890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  oF  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) ) ) lim CC  C
)  =  ( ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) ) lim
CC  C ) )
10447, 103eleqtrrd 2257 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  +  L
)  e.  ( ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z )  -  (
( F  oF  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
105 eqid 2177 . . 3  |-  ( z  e.  { w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z )  -  (
( F  oF  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  {
w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z )  -  (
( F  oF  +  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )
106 addcl 7936 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
107106adantl 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
108107, 11, 6, 56, 56, 58off 6095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G ) : X --> CC )
1092, 3, 105, 5, 108, 7eldvap 14154 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  ( F  oF  +  G )
) ( K  +  L )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  ( K  +  L )  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  X  |  w #  C }  |->  ( ( ( ( F  oF  +  G ) `  z
)  -  ( ( F  oF  +  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) ) ) lim CC  C
) ) ) )
11010, 104, 109mpbir2and 944 1  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  oF  +  G ) ) ( K  +  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {crab 2459   _Vcvv 2738    C_ wss 3130   <.cop 3596   U.cuni 3810   class class class wbr 4004    |-> cmpt 4065    X. cxp 4625    o. ccom 4631    Fn wfn 5212   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875    oFcof 6081   CCcc 7809    + caddc 7814    - cmin 8128   # cap 8538    / cdiv 8629   abscabs 11006   ↾t crest 12688   MetOpencmopn 13448   Topctop 13500  TopOnctopon 13513   intcnt 13596    Cn ccn 13688    CnP ccnp 13689    tX ctx 13755   lim CC climc 14126    _D cdv 14127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-addf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pm 6651  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by:  dvaddxx  14170  dviaddf  14172
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