Theorem dvbss 15242

Description: The set of differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
dvcl.a	|- ( ph -> A C_ S )

Assertion

Ref	Expression
dvbss	|- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ A )

Proof of Theorem dvbss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
2		dvcl.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
3		dvcl.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ S )
4		eqid 2206	. . 3 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
5		eqid 2206	. . 3 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	dvbssntrcntop 15241	. 2 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) )
7	5	cntoptop 15090	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top
8		cnex 8079	. . . . 5 |- CC e. _V
9		ssexg 4194	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
10	1, 8, 9	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> S e. _V )
11		resttop 14727	. . . 4 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
13	5	cntoptopon 15089	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 14728	. . . . . 6 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 1, 14	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		toponuni 14572	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
18	3, 17	sseqtrd 3235	. . 3 |- ( ph -> A C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
19		eqid 2206	. . . 4 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
20	19	ntrss2 14678	. . 3 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
21	12, 18, 20	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
22	6, 21	sstrd 3207	1 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   C_ wss 3170   U.cuni 3859   dom cdm 4688   o. ccom 4692   -->wf 5281   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   CCcc 7953   - cmin 8273   abscabs 11393   ↾_t crest 13156   MetOpencmopn 14388   Topctop 14554  TopOnctopon 14567   intcnt 14650   _D cdv 15212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074  ax-caucvg 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-isom 5294  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-map 6755  df-pm 6756  df-sup 7107  df-inf 7108  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-xneg 9924  df-xadd 9925  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-rest 13158  df-topgen 13177  df-psmet 14390  df-xmet 14391  df-met 14392  df-bl 14393  df-mopn 14394  df-top 14555  df-topon 14568  df-bases 14600  df-ntr 14653  df-limced 15213  df-dvap 15214

This theorem is referenced by:  dvbsssg  15243  dvidlemap  15248  dvidrelem  15249  dvidsslem  15250  dviaddf  15262  dvimulf  15263  dvcoapbr  15264  dvcjbr  15265  dvrecap  15270