Theorem dvbss 12823

Description: The set of differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
dvcl.a	|- ( ph -> A C_ S )

Assertion

Ref	Expression
dvbss	|- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ A )

Proof of Theorem dvbss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
2		dvcl.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
3		dvcl.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ S )
4		eqid 2139	. . 3 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
5		eqid 2139	. . 3 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	dvbssntrcntop 12822	. 2 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) )
7	5	cntoptop 12702	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top
8		cnex 7744	. . . . 5 |- CC e. _V
9		ssexg 4067	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
10	1, 8, 9	sylancl 409	. . . 4 |- ( ph -> S e. _V )
11		resttop 12339	. . . 4 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
12	7, 10, 11	sylancr 410	. . 3 |- ( ph -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
13	5	cntoptopon 12701	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 12340	. . . . . 6 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 1, 14	sylancr 410	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		toponuni 12182	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
18	3, 17	sseqtrd 3135	. . 3 |- ( ph -> A C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
19		eqid 2139	. . . 4 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
20	19	ntrss2 12290	. . 3 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
21	12, 18, 20	syl2anc 408	. 2 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
22	6, 21	sstrd 3107	1 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   U.cuni 3736   dom cdm 4539   o. ccom 4543   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   - cmin 7933   abscabs 10769   ↾_t crest 12120   MetOpencmopn 12154   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   intcnt 12262   _D cdv 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-ntr 12265  df-limced 12794  df-dvap 12795

This theorem is referenced by:  dvbsssg  12824  dvidlemap  12829  dviaddf  12838  dvimulf  12839  dvcoapbr  12840  dvcjbr  12841  dvrecap  12846