Theorem dvbss 15099

Description: The set of differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
dvcl.a	|- ( ph -> A C_ S )

Assertion

Ref	Expression
dvbss	|- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ A )

Proof of Theorem dvbss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
2		dvcl.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
3		dvcl.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ S )
4		eqid 2204	. . 3 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
5		eqid 2204	. . 3 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	dvbssntrcntop 15098	. 2 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) )
7	5	cntoptop 14947	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top
8		cnex 8048	. . . . 5 |- CC e. _V
9		ssexg 4182	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
10	1, 8, 9	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> S e. _V )
11		resttop 14584	. . . 4 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
13	5	cntoptopon 14946	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 14585	. . . . . 6 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 1, 14	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		toponuni 14429	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
18	3, 17	sseqtrd 3230	. . 3 |- ( ph -> A C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
19		eqid 2204	. . . 4 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
20	19	ntrss2 14535	. . 3 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
21	12, 18, 20	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
22	6, 21	sstrd 3202	1 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   C_ wss 3165   U.cuni 3849   dom cdm 4674   o. ccom 4678   -->wf 5266   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   CCcc 7922   - cmin 8242   abscabs 11250   ↾_t crest 13013   MetOpencmopn 14245   Topctop 14411  TopOnctopon 14424   intcnt 14507   _D cdv 15069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-map 6736  df-pm 6737  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-rest 13015  df-topgen 13034  df-psmet 14247  df-xmet 14248  df-met 14249  df-bl 14250  df-mopn 14251  df-top 14412  df-topon 14425  df-bases 14457  df-ntr 14510  df-limced 15070  df-dvap 15071

This theorem is referenced by:  dvbsssg  15100  dvidlemap  15105  dvidrelem  15106  dvidsslem  15107  dviaddf  15119  dvimulf  15120  dvcoapbr  15121  dvcjbr  15122  dvrecap  15127