Theorem dvbss 15415

Description: The set of differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
dvcl.a	|- ( ph -> A C_ S )

Assertion

Ref	Expression
dvbss	|- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ A )

Proof of Theorem dvbss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
2		dvcl.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
3		dvcl.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ S )
4		eqid 2231	. . 3 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
5		eqid 2231	. . 3 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	dvbssntrcntop 15414	. 2 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) )
7	5	cntoptop 15263	. . . 4 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top
8		cnex 8156	. . . . 5 |- CC e. _V
9		ssexg 4228	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
10	1, 8, 9	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> S e. _V )
11		resttop 14900	. . . 4 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
13	5	cntoptopon 15262	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 14901	. . . . . 6 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 1, 14	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		toponuni 14745	. . . . 5 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
18	3, 17	sseqtrd 3265	. . 3 |- ( ph -> A C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
19		eqid 2231	. . . 4 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
20	19	ntrss2 14851	. . 3 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
21	12, 18, 20	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
22	6, 21	sstrd 3237	1 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   U.cuni 3893   dom cdm 4725   o. ccom 4729   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   - cmin 8350   abscabs 11562   ↾_t crest 13327   MetOpencmopn 14561   Topctop 14727  TopOnctopon 14740   intcnt 14823   _D cdv 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-pm 6820  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-rest 13329  df-topgen 13348  df-psmet 14563  df-xmet 14564  df-met 14565  df-bl 14566  df-mopn 14567  df-top 14728  df-topon 14741  df-bases 14773  df-ntr 14826  df-limced 15386  df-dvap 15387

This theorem is referenced by:  dvbsssg  15416  dvidlemap  15421  dvidrelem  15422  dvidsslem  15423  dviaddf  15435  dvimulf  15436  dvcoapbr  15437  dvcjbr  15438  dvrecap  15443