Theorem trivsubgd 13111

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgd.1	|- B = ( Base ` G )
trivsubgd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
trivsubgd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
trivsubgd.4	|- ( ph -> B = { .0. } )
trivsubgd.5	|- ( ph -> A e. (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
trivsubgd	|- ( ph -> A = B )

Proof of Theorem trivsubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgd.5	. . . . 5 |- ( ph -> A e. (SubGrp ` G ) )
2		trivsubgd.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
3	2	subgss 13085	. . . . 5 |- ( A e. (SubGrp ` G ) -> A C_ B )
4	1, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A C_ B )
5		trivsubgd.4	. . . 4 |- ( ph -> B = { .0. } )
6	4, 5	sseqtrd 3208	. . 3 |- ( ph -> A C_ { .0. } )
7		trivsubgd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
8	7	subg0cl 13093	. . . . 5 |- ( A e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. A )
9	1, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. A )
10	9	snssd 3752	. . 3 |- ( ph -> { .0. } C_ A )
11	6, 10	eqssd 3187	. 2 |- ( ph -> A = { .0. } )
12	11, 5	eqtr4d 2225	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   {csn 3607   ` cfv 5231   Basecbs 12486   0gc0g 12733   Grpcgrp 12917  SubGrpcsubg 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltadd 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016  df-inn 8939  df-2 8997  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-sets 12493  df-iress 12494  df-plusg 12574  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-subg 13081

This theorem is referenced by:  trivsubgsnd  13112