ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  trivsubgd Unicode version

Theorem trivsubgd 13111
Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trivsubgd.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
trivsubgd.2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
trivsubgd.3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
trivsubgd.4  |-  ( ph  ->  B  =  {  .0.  } )
trivsubgd.5  |-  ( ph  ->  A  e.  (SubGrp `  G ) )
Assertion
Ref Expression
trivsubgd  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem trivsubgd
StepHypRef Expression
1 trivsubgd.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  (SubGrp `  G ) )
2 trivsubgd.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
32subgss 13085 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A  C_  B
)
41, 3syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
5 trivsubgd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  {  .0.  } )
64, 5sseqtrd 3208 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  {  .0.  } )
7 trivsubgd.2 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
87subg0cl 13093 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  A )
91, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  A )
109snssd 3752 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  A )
116, 10eqssd 3187 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  {  .0.  } )
1211, 5eqtr4d 2225 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160    C_ wss 3144   {csn 3607   ` cfv 5231   Basecbs 12486   0gc0g 12733   Grpcgrp 12917  SubGrpcsubg 13078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016  df-inn 8939  df-2 8997  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-sets 12493  df-iress 12494  df-plusg 12574  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-subg 13081
This theorem is referenced by:  trivsubgsnd  13112
  Copyright terms: Public domain W3C validator