Theorem trivsubgd 13330

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgd.1	|- B = ( Base ` G )
trivsubgd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
trivsubgd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
trivsubgd.4	|- ( ph -> B = { .0. } )
trivsubgd.5	|- ( ph -> A e. (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
trivsubgd	|- ( ph -> A = B )

Proof of Theorem trivsubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgd.5	. . . . 5 |- ( ph -> A e. (SubGrp ` G ) )
2		trivsubgd.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
3	2	subgss 13304	. . . . 5 |- ( A e. (SubGrp ` G ) -> A C_ B )
4	1, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A C_ B )
5		trivsubgd.4	. . . 4 |- ( ph -> B = { .0. } )
6	4, 5	sseqtrd 3221	. . 3 |- ( ph -> A C_ { .0. } )
7		trivsubgd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
8	7	subg0cl 13312	. . . . 5 |- ( A e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. A )
9	1, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. A )
10	9	snssd 3767	. . 3 |- ( ph -> { .0. } C_ A )
11	6, 10	eqssd 3200	. 2 |- ( ph -> A = { .0. } )
12	11, 5	eqtr4d 2232	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   {csn 3622   ` cfv 5258   Basecbs 12678   0gc0g 12927   Grpcgrp 13132  SubGrpcsubg 13297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-subg 13300

This theorem is referenced by:  trivsubgsnd  13331