Theorem trivsubgd 13507

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgd.1	|- B = ( Base ` G )
trivsubgd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
trivsubgd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
trivsubgd.4	|- ( ph -> B = { .0. } )
trivsubgd.5	|- ( ph -> A e. (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
trivsubgd	|- ( ph -> A = B )

Proof of Theorem trivsubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgd.5	. . . . 5 |- ( ph -> A e. (SubGrp ` G ) )
2		trivsubgd.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
3	2	subgss 13481	. . . . 5 |- ( A e. (SubGrp ` G ) -> A C_ B )
4	1, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A C_ B )
5		trivsubgd.4	. . . 4 |- ( ph -> B = { .0. } )
6	4, 5	sseqtrd 3230	. . 3 |- ( ph -> A C_ { .0. } )
7		trivsubgd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
8	7	subg0cl 13489	. . . . 5 |- ( A e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. A )
9	1, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. A )
10	9	snssd 3777	. . 3 |- ( ph -> { .0. } C_ A )
11	6, 10	eqssd 3209	. 2 |- ( ph -> A = { .0. } )
12	11, 5	eqtr4d 2240	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   C_ wss 3165   {csn 3632   ` cfv 5270   Basecbs 12803   0gc0g 13059   Grpcgrp 13303  SubGrpcsubg 13474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-sets 12810  df-iress 12811  df-plusg 12893  df-0g 13061  df-mgm 13159  df-sgrp 13205  df-mnd 13220  df-grp 13306  df-subg 13477

This theorem is referenced by:  trivsubgsnd  13508