ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  trivsubgd Unicode version

Theorem trivsubgd 13091
Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trivsubgd.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
trivsubgd.2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
trivsubgd.3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
trivsubgd.4  |-  ( ph  ->  B  =  {  .0.  } )
trivsubgd.5  |-  ( ph  ->  A  e.  (SubGrp `  G ) )
Assertion
Ref Expression
trivsubgd  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem trivsubgd
StepHypRef Expression
1 trivsubgd.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  (SubGrp `  G ) )
2 trivsubgd.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
32subgss 13065 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A  C_  B
)
41, 3syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
5 trivsubgd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  {  .0.  } )
64, 5sseqtrd 3205 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  {  .0.  } )
7 trivsubgd.2 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
87subg0cl 13073 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  A )
91, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  A )
109snssd 3749 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  A )
116, 10eqssd 3184 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  {  .0.  } )
1211, 5eqtr4d 2223 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1363    e. wcel 2158    C_ wss 3141   {csn 3604   ` cfv 5228   Basecbs 12475   0gc0g 12722   Grpcgrp 12898  SubGrpcsubg 13058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-iress 12483  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-subg 13061
This theorem is referenced by:  trivsubgsnd  13092
  Copyright terms: Public domain W3C validator