Theorem ssfidc 6868

Description: A subset of a finite set is finite if membership in the subset is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ssfidc	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ssfidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss1 3307	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
2	1	biimpi 119	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1004	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
4		dfin5 3105	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝐵}
5		simp1 982	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
6		simp3 984	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
7	5, 6	ssfirab 6867	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝐵} ∈ Fin)
8	4, 7	eqeltrid 2241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
9	3, 8	eqeltrrd 2232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 820   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∀wral 2432  {crab 2436   ∩ cin 3097   ⊆ wss 3098  Fincfn 6674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-1o 6353  df-er 6469  df-en 6675  df-fin 6677

This theorem is referenced by:  fisumss  11266  fprodssdc  11464