Theorem ssfidc 7251

Description: A subset of a finite set is finite if membership in the subset is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ssfidc	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ssfidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss1 3435	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1050	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
4		dfin5 3227	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝐵}
5		simp1 1028	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
6		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
7	5, 6	ssfirab 7250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝐵} ∈ Fin)
8	4, 7	eqeltrid 2325	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
9	3, 8	eqeltrrd 2316	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  Fincfn 7028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1o 6692  df-er 6812  df-en 7029  df-fin 7031

This theorem is used by:  exmidssfi  7252  opabfi  7253  infidc  7254  relresfin  7270  funisfsuppdc  7298  f1setfi  7322  2omapfi  7326  fisumss  12183  fprodssdc  12381  bitsfi  12748  bitsinv1  12753  eulerthlemfi  13034  dvdsfi  13045  phisum  13047  sumhashdc  13154  1arith  13174  4sqlemafi  13202  ballotfilemdifcfi  13282  ballotfilemdifcfz  13284  gsummptfidmsplit  14253  psrbagfi  15166  psrbaglecl  15172  psrbagcon  15174  ppiqfi  16259  prmdvdsfi  16260  ppiprm  16276  chtprm  16278  chtdif  16281  efchtqdvds  16282  ppidif  16286  ppiqub  16310  wexmiddiffi  17266