ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfidc GIF version

Theorem ssfidc 6826
Description: A subset of a finite set is finite if membership in the subset is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
ssfidc ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ssfidc
StepHypRef Expression
1 dfss1 3280 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
21biimpi 119 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐴𝐵) = 𝐵)
323ad2ant2 1003 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝑥𝐵) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
4 dfin5 3078 . . 3 (𝐴𝐵) = {𝑥𝐴𝑥𝐵}
5 simp1 981 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
6 simp3 983 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝑥𝐵) → ∀𝑥𝐴 DECID 𝑥𝐵)
75, 6ssfirab 6825 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝑥𝐵) → {𝑥𝐴𝑥𝐵} ∈ Fin)
84, 7eqeltrid 2226 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝑥𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
93, 8eqeltrrd 2217 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  DECID wdc 819  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  {crab 2420  cin 3070  wss 3071  Fincfn 6637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-iord 4291  df-on 4293  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-1o 6316  df-er 6432  df-en 6638  df-fin 6640
This theorem is referenced by:  fisumss  11185
  Copyright terms: Public domain W3C validator