Theorem ssfidc 7239

Description: A subset of a finite set is finite if membership in the subset is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ssfidc	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ssfidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss1 3435	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1050	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
4		dfin5 3227	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝐵}
5		simp1 1028	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
6		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵)
7	5, 6	ssfirab 7238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝐵} ∈ Fin)
8	4, 7	eqeltrid 2325	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
9	3, 8	eqeltrrd 2316	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  Fincfn 7016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019

This theorem is referenced by:  exmidssfi  7240  opabfi  7241  infidc  7242  f1setfi  7311  2omapfi  7314  fisumss  12142  fprodssdc  12340  bitsfi  12707  bitsinv1  12712  eulerthlemfi  12989  dvdsfi  13000  phisum  13002  sumhashdc  13109  1arith  13129  4sqlemafi  13157  ballotfilemdifcfi  13208  ballotfilemdifcfz  13210  psrbagfi  15042  psrbaglecl  15043  psrbagcon  15045