Theorem eulerthlemfi 12248

Description: Lemma for eulerth 12253. The set S is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemfi	|- ( ph -> S e. Fin )

Distinct variable group:   y, N

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   S( y)

Proof of Theorem eulerthlemfi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9284	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		eulerth.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
3	2	simp1d 1011	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnzd 9394	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		fzofig 10452	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
6	1, 4, 5	sylancr 414	. 2 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
7		eulerth.2	. . . 4 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
8		ssrab2 3255	. . . 4 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
9	7, 8	eqsstri 3202	. . 3 |- S C_ ( 0..^ N )
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ ( 0..^ N ) )
11		elfzoelz 10167	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ZZ )
13	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
14	12, 13	gcdcld 11989	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. NN0 )
15	14	nn0zd 9393	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. ZZ )
16		1zzd 9300	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> 1 e. ZZ )
17		zdceq 9348	. . . . 5 |- ( ( ( j gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( j gcd N ) = 1 )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( j gcd N ) = 1 )
19		oveq1 5899	. . . . . . . . 9 |- ( y = j -> ( y gcd N ) = ( j gcd N ) )
20	19	eqeq1d 2198	. . . . . . . 8 |- ( y = j -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( j gcd N ) = 1 ) )
21	20, 7	elrab2 2911	. . . . . . 7 |- ( j e. S <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = 1 ) )
22	21	baibr 921	. . . . . 6 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = 1 <-> j e. S ) )
23	22	dcbid 839	. . . . 5 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> (DECID ( j gcd N ) = 1 <-> DECID j e. S ) )
24	23	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> (DECID ( j gcd N ) = 1 <-> DECID j e. S ) )
25	18, 24	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID j e. S )
26	25	ralrimiva 2563	. 2 |- ( ph -> A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. S )
27		ssfidc 6953	. 2 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ S C_ ( 0..^ N ) /\ A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. S ) -> S e. Fin )
28	6, 10, 26, 27	syl3anc 1249	1 |- ( ph -> S e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   C_ wss 3144  (class class class)co 5892   Fincfn 6759   0cc0 7831   1c1 7832   NNcn 8939   ZZcz 9273  ..^cfzo 10162   gcd cgcd 11963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950  ax-caucvg 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-1o 6436  df-er 6554  df-en 6760  df-fin 6762  df-sup 7003  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-q 9640  df-rp 9674  df-fz 10029  df-fzo 10163  df-fl 10290  df-mod 10343  df-seqfrec 10466  df-exp 10540  df-cj 10871  df-re 10872  df-im 10873  df-rsqrt 11027  df-abs 11028  df-dvds 11815  df-gcd 11964

This theorem is referenced by:  eulerthlemh  12251  eulerth  12253