Theorem eulerthlemfi 12989

Description: Lemma for eulerth 12994. The set S is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemfi	|- ( ph -> S e. Fin )

Distinct variable group:   y, N

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   S( y)

Proof of Theorem eulerthlemfi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9638	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		eulerth.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
3	2	simp1d 1040	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnzd 9750	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		fzofig 10852	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
6	1, 4, 5	sylancr 418	. 2 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
7		eulerth.2	. . . 4 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
8		ssrab2 3333	. . . 4 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
9	7, 8	eqsstri 3280	. . 3 |- S C_ ( 0..^ N )
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ ( 0..^ N ) )
11		elfzoelz 10537	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ZZ )
13	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
14	12, 13	gcdcld 12728	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. NN0 )
15	14	nn0zd 9749	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. ZZ )
16		1zzd 9654	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> 1 e. ZZ )
17		zdceq 9703	. . . . 5 |- ( ( ( j gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( j gcd N ) = 1 )
18	15, 16, 17	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( j gcd N ) = 1 )
19		oveq1 6086	. . . . . . . . 9 |- ( y = j -> ( y gcd N ) = ( j gcd N ) )
20	19	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 |- ( y = j -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( j gcd N ) = 1 ) )
21	20, 7	elrab2 2985	. . . . . . 7 |- ( j e. S <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = 1 ) )
22	21	baibr 932	. . . . . 6 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = 1 <-> j e. S ) )
23	22	dcbid 850	. . . . 5 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> (DECID ( j gcd N ) = 1 <-> DECID j e. S ) )
24	23	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> (DECID ( j gcd N ) = 1 <-> DECID j e. S ) )
25	18, 24	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID j e. S )
26	25	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. S )
27		ssfidc 7239	. 2 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ S C_ ( 0..^ N ) /\ A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. S ) -> S e. Fin )
28	6, 10, 26, 27	syl3anc 1278	1 |- ( ph -> S e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   C_ wss 3220  (class class class)co 6079   Fincfn 7016   0cc0 8173   1c1 8174   NNcn 9287   ZZcz 9627  ..^cfzo 10532   gcd cgcd 12713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-gcd 12714

This theorem is referenced by:  eulerthlemh  12992  eulerth  12994