Theorem eulerthlemfi 12921

Description: Lemma for eulerth 12926. The set S is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemfi	|- ( ph -> S e. Fin )

Distinct variable group:   y, N

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   S( y)

Proof of Theorem eulerthlemfi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9587	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		eulerth.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
3	2	simp1d 1036	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnzd 9698	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		fzofig 10793	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
6	1, 4, 5	sylancr 414	. 2 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
7		eulerth.2	. . . 4 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
8		ssrab2 3322	. . . 4 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
9	7, 8	eqsstri 3269	. . 3 |- S C_ ( 0..^ N )
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ ( 0..^ N ) )
11		elfzoelz 10480	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ZZ )
13	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
14	12, 13	gcdcld 12660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. NN0 )
15	14	nn0zd 9697	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. ZZ )
16		1zzd 9603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> 1 e. ZZ )
17		zdceq 9652	. . . . 5 |- ( ( ( j gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( j gcd N ) = 1 )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( j gcd N ) = 1 )
19		oveq1 6056	. . . . . . . . 9 |- ( y = j -> ( y gcd N ) = ( j gcd N ) )
20	19	eqeq1d 2241	. . . . . . . 8 |- ( y = j -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( j gcd N ) = 1 ) )
21	20, 7	elrab2 2975	. . . . . . 7 |- ( j e. S <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = 1 ) )
22	21	baibr 928	. . . . . 6 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = 1 <-> j e. S ) )
23	22	dcbid 846	. . . . 5 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> (DECID ( j gcd N ) = 1 <-> DECID j e. S ) )
24	23	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> (DECID ( j gcd N ) = 1 <-> DECID j e. S ) )
25	18, 24	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID j e. S )
26	25	ralrimiva 2615	. 2 |- ( ph -> A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. S )
27		ssfidc 7197	. 2 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ S C_ ( 0..^ N ) /\ A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. S ) -> S e. Fin )
28	6, 10, 26, 27	syl3anc 1274	1 |- ( ph -> S e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   C_ wss 3210  (class class class)co 6049   Fincfn 6974   0cc0 8126   1c1 8127   NNcn 9236   ZZcz 9576  ..^cfzo 10475   gcd cgcd 12645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-gcd 12646

This theorem is referenced by:  eulerthlemh  12924  eulerth  12926