Theorem eulerthlemfi 13035

Description: Lemma for eulerth 13040. The set S is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemfi	|- ( ph -> S e. Fin )

Distinct variable group:   y, N

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   S( y)

Proof of Theorem eulerthlemfi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9666	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		eulerth.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
3	2	simp1d 1040	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnzd 9778	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		fzofig 10890	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
6	1, 4, 5	sylancr 418	. 2 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
7		eulerth.2	. . . 4 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
8		ssrab2 3333	. . . 4 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
9	7, 8	eqsstri 3280	. . 3 |- S C_ ( 0..^ N )
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ ( 0..^ N ) )
11		elfzoelz 10571	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ZZ )
13	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
14	12, 13	gcdcld 12770	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. NN0 )
15	14	nn0zd 9777	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. ZZ )
16		1zzd 9682	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> 1 e. ZZ )
17		zdceq 9731	. . . . 5 |- ( ( ( j gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( j gcd N ) = 1 )
18	15, 16, 17	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( j gcd N ) = 1 )
19		oveq1 6095	. . . . . . . . 9 |- ( y = j -> ( y gcd N ) = ( j gcd N ) )
20	19	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 |- ( y = j -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( j gcd N ) = 1 ) )
21	20, 7	elrab2 2985	. . . . . . 7 |- ( j e. S <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = 1 ) )
22	21	baibr 932	. . . . . 6 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = 1 <-> j e. S ) )
23	22	dcbid 850	. . . . 5 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> (DECID ( j gcd N ) = 1 <-> DECID j e. S ) )
24	23	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> (DECID ( j gcd N ) = 1 <-> DECID j e. S ) )
25	18, 24	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID j e. S )
26	25	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. S )
27		ssfidc 7249	. 2 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ S C_ ( 0..^ N ) /\ A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. S ) -> S e. Fin )
28	6, 10, 26, 27	syl3anc 1278	1 |- ( ph -> S e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   C_ wss 3220  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   0cc0 8185   1c1 8186   NNcn 9313   ZZcz 9655  ..^cfzo 10566   gcd cgcd 12755

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-gcd 12756

This theorem is used by:  eulerthlemh  13038  eulerth  13040