Theorem eulerthlemfi 12182

Description: Lemma for eulerth 12187. The set S is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	|- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
eulerth.2	|- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }

Assertion

Ref	Expression
eulerthlemfi	|- ( ph -> S e. Fin )

Distinct variable group:   y, N

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   S( y)

Proof of Theorem eulerthlemfi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9223	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		eulerth.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
3	2	simp1d 1004	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnzd 9333	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		fzofig 10388	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
6	1, 4, 5	sylancr 412	. 2 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
7		eulerth.2	. . . 4 |- S = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
8		ssrab2 3232	. . . 4 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
9	7, 8	eqsstri 3179	. . 3 |- S C_ ( 0..^ N )
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ ( 0..^ N ) )
11		elfzoelz 10103	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
12	11	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ZZ )
13	4	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
14	12, 13	gcdcld 11923	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. NN0 )
15	14	nn0zd 9332	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j gcd N ) e. ZZ )
16		1zzd 9239	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> 1 e. ZZ )
17		zdceq 9287	. . . . 5 |- ( ( ( j gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( j gcd N ) = 1 )
18	15, 16, 17	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( j gcd N ) = 1 )
19		oveq1 5860	. . . . . . . . 9 |- ( y = j -> ( y gcd N ) = ( j gcd N ) )
20	19	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 |- ( y = j -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( j gcd N ) = 1 ) )
21	20, 7	elrab2 2889	. . . . . . 7 |- ( j e. S <-> ( j e. ( 0..^ N ) /\ ( j gcd N ) = 1 ) )
22	21	baibr 915	. . . . . 6 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( ( j gcd N ) = 1 <-> j e. S ) )
23	22	dcbid 833	. . . . 5 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> (DECID ( j gcd N ) = 1 <-> DECID j e. S ) )
24	23	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> (DECID ( j gcd N ) = 1 <-> DECID j e. S ) )
25	18, 24	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> DECID j e. S )
26	25	ralrimiva 2543	. 2 |- ( ph -> A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. S )
27		ssfidc 6912	. 2 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ S C_ ( 0..^ N ) /\ A. j e. ( 0..^ N )DECID j e. S ) -> S e. Fin )
28	6, 10, 26, 27	syl3anc 1233	1 |- ( ph -> S e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   C_ wss 3121  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   0cc0 7774   1c1 7775   NNcn 8878   ZZcz 9212  ..^cfzo 10098   gcd cgcd 11897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898

This theorem is referenced by:  eulerthlemh  12185  eulerth  12187