Theorem ssfilemd 7183

Description: Lemma for ssfiexmidt 7184. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfilemd.1	|- ( ph -> { z e. { (/) } | ps } e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
ssfilemd	|- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )

Distinct variable group:   ps, z

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem ssfilemd

Dummy variables n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfilemd.1	. . 3 |- ( ph -> { z e. { (/) } | ps } e. Fin )
2		isfi 7051	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ps } e. Fin <-> E. n e. om { z e. { (/) } | ps } ~~ n )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. n e. om { z e. { (/) } | ps } ~~ n )
4		0elnn 4768	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
5		breq2 4135	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ps } ~~ (/) ) )
6		en0 7086	. . . . . . . . . 10 |- ( { z e. { (/) } | ps } ~~ (/) <-> { z e. { (/) } | ps } = (/) )
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ps } = (/) ) )
8	7	biimpac 298	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ n = (/) ) -> { z e. { (/) } | ps } = (/) )
9		rabeq0 3552	. . . . . . . . 9 |- ( { z e. { (/) } | ps } = (/) <-> A. z e. { (/) } -. ps )
10		0ex 4262	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
11	10	snm 3833	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
12		r19.3rmv 3618	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. ps <-> A. z e. { (/) } -. ps ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -. ps <-> A. z e. { (/) } -. ps )
14	9, 13	bitr4i 187	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ps } = (/) <-> -. ps )
15	8, 14	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ n = (/) ) -> -. ps )
16	15	olcd 746	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ n = (/) ) -> ( ps \/ -. ps ) )
17		ensym 7072	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n -> n ~~ { z e. { (/) } | ps } )
18		elex2 2838	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. x x e. n )
19		enm 7122	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ { z e. { (/) } | ps } /\ E. x x e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ps } )
20	17, 18, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ps } )
21		biidd 172	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( ps <-> ps ) )
22	21	elrab 2982	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { z e. { (/) } | ps } <-> ( y e. { (/) } /\ ps ) )
23	22	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. { (/) } | ps } -> ps )
24	23	orcd 745	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. { (/) } | ps } -> ( ps \/ -. ps ) )
25	24	exlimiv 1651	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. { z e. { (/) } | ps } -> ( ps \/ -. ps ) )
26	20, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( ps \/ -. ps ) )
27	16, 26	jaodan 809	. . . . 5 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( ps \/ -. ps ) )
28	4, 27	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ n e. om ) -> ( ps \/ -. ps ) )
29	28	ancoms 268	. . 3 |- ( ( n e. om /\ { z e. { (/) } | ps } ~~ n ) -> ( ps \/ -. ps ) )
30	29	rexlimiva 2663	. 2 |- ( E. n e. om { z e. { (/) } | ps } ~~ n -> ( ps \/ -. ps ) )
31	3, 30	syl 14	1 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4131   omcom 4739   ~~ cen 7024   Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029

This theorem is used by:  ssfiexmidt  7184