Theorem ssfilemd 7131

Description: Lemma for ssfiexmidt 7132. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfilemd.1	|- ( ph -> { z e. { (/) } | ps } e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
ssfilemd	|- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )

Distinct variable group:   ps, z

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem ssfilemd

Dummy variables n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfilemd.1	. . 3 |- ( ph -> { z e. { (/) } | ps } e. Fin )
2		isfi 6999	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ps } e. Fin <-> E. n e. om { z e. { (/) } | ps } ~~ n )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. n e. om { z e. { (/) } | ps } ~~ n )
4		0elnn 4740	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
5		breq2 4112	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ps } ~~ (/) ) )
6		en0 7034	. . . . . . . . . 10 |- ( { z e. { (/) } | ps } ~~ (/) <-> { z e. { (/) } | ps } = (/) )
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n <-> { z e. { (/) } | ps } = (/) ) )
8	7	biimpac 298	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ n = (/) ) -> { z e. { (/) } | ps } = (/) )
9		rabeq0 3537	. . . . . . . . 9 |- ( { z e. { (/) } | ps } = (/) <-> A. z e. { (/) } -. ps )
10		0ex 4236	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
11	10	snm 3811	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
12		r19.3rmv 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. ps <-> A. z e. { (/) } -. ps ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -. ps <-> A. z e. { (/) } -. ps )
14	9, 13	bitr4i 187	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ps } = (/) <-> -. ps )
15	8, 14	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ n = (/) ) -> -. ps )
16	15	olcd 742	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ n = (/) ) -> ( ps \/ -. ps ) )
17		ensym 7020	. . . . . . . 8 |- ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n -> n ~~ { z e. { (/) } | ps } )
18		elex2 2829	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. x x e. n )
19		enm 7070	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ { z e. { (/) } | ps } /\ E. x x e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ps } )
20	17, 18, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. { z e. { (/) } | ps } )
21		biidd 172	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( ps <-> ps ) )
22	21	elrab 2972	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { z e. { (/) } | ps } <-> ( y e. { (/) } /\ ps ) )
23	22	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. { (/) } | ps } -> ps )
24	23	orcd 741	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. { (/) } | ps } -> ( ps \/ -. ps ) )
25	24	exlimiv 1647	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. { z e. { (/) } | ps } -> ( ps \/ -. ps ) )
26	20, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( ps \/ -. ps ) )
27	16, 26	jaodan 805	. . . . 5 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( ps \/ -. ps ) )
28	4, 27	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) } | ps } ~~ n /\ n e. om ) -> ( ps \/ -. ps ) )
29	28	ancoms 268	. . 3 |- ( ( n e. om /\ { z e. { (/) } | ps } ~~ n ) -> ( ps \/ -. ps ) )
30	29	rexlimiva 2655	. 2 |- ( E. n e. om { z e. { (/) } | ps } ~~ n -> ( ps \/ -. ps ) )
31	3, 30	syl 14	1 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   (/)c0 3507   {csn 3688   class class class wbr 4108   omcom 4711   ~~ cen 6972   Fincfn 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-er 6766  df-en 6975  df-fin 6977

This theorem is referenced by:  ssfiexmidt  7132