Theorem ssfiexmidt 7065

Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ssfiexmidt	⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ssfiexmidt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 4278	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
2		eleq1 2294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {∅} ∈ Fin))
3		sseq2 3251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑦 ⊆ {∅}))
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {∅} → ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ {∅})))
5	4	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {∅} → (((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
6	5	albidv 1872	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {∅} → (∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
7	1, 6	spcv 2900	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin))
8		0ex 4216	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		snfig 6989	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ∈ Fin)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
11		ssrab2 3312	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅}
12	10, 11	pm3.2i 272	. . 3 ⊢ ({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅})
13	1	rabex 4234	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ V
14		sseq1 3250	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ⊆ {∅} ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅}))
15	14	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ {∅}) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅})))
16		eleq1 2294	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ∈ Fin ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
17	15, 16	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → ((({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)))
18	13, 17	spcv 2900	. . 3 ⊢ (∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) → (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
19	7, 12, 18	mpisyl 1491	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)
20	19	ssfilemd 7064	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715  ∀wal 1395   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  {csn 3669  Fincfn 6909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912

This theorem is referenced by:  exmidssfi  7131