Theorem subge0 8261

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subge0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A - B ) <-> B <_ A ) )

Proof of Theorem subge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 7791	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> 0 e. RR )
2		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
3		simpl 108	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4		leaddsub 8224	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 + B ) <_ A <-> 0 <_ ( A - B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1217	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 + B ) <_ A <-> 0 <_ ( A - B ) ) )
6	2	recnd 7818	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. CC )
7	6	addid2d 7936	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 + B ) = B )
8	7	breq1d 3947	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 + B ) <_ A <-> B <_ A ) )
9	5, 8	bitr3d 189	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A - B ) <-> B <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   + caddc 7647   <_ cle 7825   - cmin 7957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960

This theorem is referenced by:  subge0i  8287  subge0d  8321  znn0sub  9143  uzsubsubfz  9858  difelfzle  9942  difelfznle  9943  abssubge0  10906