Theorem subge0 8654

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subge0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A - B ) <-> B <_ A ) )

Proof of Theorem subge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8179	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> 0 e. RR )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4		leaddsub 8617	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 + B ) <_ A <-> 0 <_ ( A - B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1273	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 + B ) <_ A <-> 0 <_ ( A - B ) ) )
6	2	recnd 8207	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. CC )
7	6	addlidd 8328	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 + B ) = B )
8	7	breq1d 4098	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 + B ) <_ A <-> B <_ A ) )
9	5, 8	bitr3d 190	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A - B ) <-> B <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   + caddc 8034   <_ cle 8214   - cmin 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352

This theorem is referenced by:  subge0i  8680  subge0d  8714  znn0sub  9544  uzsubsubfz  10281  difelfzle  10368  difelfznle  10369  pfxccatin12lem2  11311  swrdccat  11315  abssubge0  11662