Theorem subge0 8618

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subge0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A - B ) <-> B <_ A ) )

Proof of Theorem subge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8143	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> 0 e. RR )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4		leaddsub 8581	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 + B ) <_ A <-> 0 <_ ( A - B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 + B ) <_ A <-> 0 <_ ( A - B ) ) )
6	2	recnd 8171	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. CC )
7	6	addlidd 8292	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 + B ) = B )
8	7	breq1d 4092	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 + B ) <_ A <-> B <_ A ) )
9	5, 8	bitr3d 190	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A - B ) <-> B <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   RRcr 7994   0cc0 7995   + caddc 7998   <_ cle 8178   - cmin 8313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316

This theorem is referenced by:  subge0i  8644  subge0d  8678  znn0sub  9508  uzsubsubfz  10239  difelfzle  10326  difelfznle  10327  pfxccatin12lem2  11258  swrdccat  11262  abssubge0  11608