Theorem subrgss 14359

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
subrgss	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ B )

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2		eqid 2232	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
3	1, 2	issubrg 14358	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ B /\ ( 1r ` R ) e. A ) ) )
4	3	simprbi 275	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( A C_ B /\ ( 1r ` R ) e. A ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3210   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Basecbs 13204   ↾_s cress 13205   1rcur 14095   Ringcrg 14132  SubRingcsubrg 14354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-ov 6052  df-inn 9237  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-subrg 14356

This theorem is referenced by:  subrgsubg  14364  subrg1  14368  subrgsubm  14371  subrgdvds  14372  subrguss  14373  subrginv  14374  subrgdv  14375  subsubrg  14382  sralmod  14590  dvply2g  15623