Theorem subrgsubg 14022

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 14021	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
2		ringgrp 13796	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Grp )
4		eqid 2205	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	4	subrgss 14017	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ ( Base ` R ) )
6		eqid 2205	. . . 4 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
7	6	subrgring 14019	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
8		ringgrp 13796	. . 3 |- ( ( R ↾s A ) e. Ring -> ( R ↾s A ) e. Grp )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
10	4	issubg 13542	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` R ) <-> ( R e. Grp /\ A C_ ( Base ` R ) /\ ( R ↾s A ) e. Grp ) )
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1184	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   C_ wss 3166   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Basecbs 12865   ↾_s cress 12866   Grpcgrp 13365  SubGrpcsubg 13536   Ringcrg 13791  SubRingcsubrg 14012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-ov 5949  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-subg 13539  df-ring 13793  df-subrg 14014

This theorem is referenced by:  subrg0  14023  subrgbas  14025  subrgacl  14027  issubrg2  14036  subrgintm  14038  resrhm  14043  resrhm2b  14044  rhmima  14046  zsssubrg  14380  zringsubgval  14400  zndvds  14444  dvply2g  15271  lgseisenlem4  15583