Theorem subrgsubg 14477

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 14476	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
2		ringgrp 14248	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Grp )
4		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	4	subrgss 14472	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ ( Base ` R ) )
6		eqid 2234	. . . 4 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
7	6	subrgring 14474	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
8		ringgrp 14248	. . 3 |- ( ( R ↾s A ) e. Ring -> ( R ↾s A ) e. Grp )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
10	4	issubg 13930	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` R ) <-> ( R e. Grp /\ A C_ ( Base ` R ) /\ ( R ↾s A ) e. Grp ) )
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1208	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   C_ wss 3214   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13300   ↾_s cress 13301   Grpcgrp 13759  SubGrpcsubg 13924   Ringcrg 14243  SubRingcsubrg 14467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-ndx 13303  df-slot 13304  df-base 13306  df-plusg 13391  df-mulr 13392  df-subg 13927  df-ring 14245  df-subrg 14469

This theorem is referenced by:  subrg0  14478  subrgbas  14480  subrgacl  14482  issubrg2  14491  subrgintm  14493  resrhm  14498  resrhm2b  14499  rhmima  14501  zsssubrg  14863  zringsubgval  14883  zndvds  14927  dvply2g  15761  lgseisenlem4  16076