Theorem subrgsubg 14584

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 14583	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
2		ringgrp 14354	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Grp )
4		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	4	subrgss 14579	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ ( Base ` R ) )
6		eqid 2238	. . . 4 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
7	6	subrgring 14581	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
8		ringgrp 14354	. . 3 |- ( ( R ↾s A ) e. Ring -> ( R ↾s A ) e. Grp )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
10	4	issubg 14025	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` R ) <-> ( R e. Grp /\ A C_ ( Base ` R ) /\ ( R ↾s A ) e. Grp ) )
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1212	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13401   ↾_s cress 13402   Grpcgrp 13854  SubGrpcsubg 14019   Ringcrg 14349  SubRingcsubrg 14574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-subg 14022  df-ring 14351  df-subrg 14576

This theorem is used by:  subrg0  14585  subrgbas  14587  subrgacl  14589  issubrg2  14598  subrgintm  14600  resrhm  14605  resrhm2b  14606  rhmima  14608  zsssubrg  14971  zringsubgval  14989  zndvds  15033  issubassa2  15084  dvply2g  15916  lgseisenlem4  16290