Theorem subrgsubg 14322

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 14321	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
2		ringgrp 14095	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Grp )
4		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	4	subrgss 14317	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ ( Base ` R ) )
6		eqid 2231	. . . 4 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
7	6	subrgring 14319	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
8		ringgrp 14095	. . 3 |- ( ( R ↾s A ) e. Ring -> ( R ↾s A ) e. Grp )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
10	4	issubg 13840	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` R ) <-> ( R e. Grp /\ A C_ ( Base ` R ) /\ ( R ↾s A ) e. Grp ) )
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1208	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   ↾_s cress 13163   Grpcgrp 13663  SubGrpcsubg 13834   Ringcrg 14090  SubRingcsubrg 14312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-subg 13837  df-ring 14092  df-subrg 14314

This theorem is referenced by:  subrg0  14323  subrgbas  14325  subrgacl  14327  issubrg2  14336  subrgintm  14338  resrhm  14343  resrhm2b  14344  rhmima  14346  zsssubrg  14681  zringsubgval  14701  zndvds  14745  dvply2g  15577  lgseisenlem4  15892