Theorem subrgid 13531

Description: Every ring is a subring of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
subrgid	|- ( R e. Ring -> B e. (SubRing ` R ) )

Proof of Theorem subrgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( R e. Ring -> R e. Ring )
2		subrgss.1	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3	2	ringressid 13374	. 2 |- ( R e. Ring -> ( R ↾s B ) e. Ring )
4		eqid 2189	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
5	2, 4	ringidcl 13335	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
6		ssid 3190	. . 3 |- B C_ B
7	5, 6	jctil 312	. 2 |- ( R e. Ring -> ( B C_ B /\ ( 1r ` R ) e. B ) )
8	2, 4	issubrg 13529	. 2 |- ( B e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ B /\ ( 1r ` R ) e. B ) ) )
9	1, 3, 7, 8	syl21anbrc 1184	1 |- ( R e. Ring -> B e. (SubRing ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   Basecbs 12480   ↾_s cress 12481   1rcur 13274   Ringcrg 13311  SubRingcsubrg 13525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-ltxr 8015  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-sets 12487  df-iress 12488  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-minusg 12915  df-mgp 13236  df-ur 13275  df-ring 13313  df-subrg 13527

This theorem is referenced by:  rlmlmod  13741