Theorem subrgid 13355

Description: Every ring is a subring of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
subrgid	|- ( R e. Ring -> B e. (SubRing ` R ) )

Proof of Theorem subrgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( R e. Ring -> R e. Ring )
2		subrgss.1	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3	2	ringressid 13249	. 2 |- ( R e. Ring -> ( R ↾s B ) e. Ring )
4		eqid 2177	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
5	2, 4	ringidcl 13214	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
6		ssid 3177	. . 3 |- B C_ B
7	5, 6	jctil 312	. 2 |- ( R e. Ring -> ( B C_ B /\ ( 1r ` R ) e. B ) )
8	2, 4	issubrg 13353	. 2 |- ( B e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ B /\ ( 1r ` R ) e. B ) ) )
9	1, 3, 7, 8	syl21anbrc 1182	1 |- ( R e. Ring -> B e. (SubRing ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3131   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   Basecbs 12465   ↾_s cress 12466   1rcur 13153   Ringcrg 13190  SubRingcsubrg 13349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-iress 12473  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-0g 12713  df-mgm 12782  df-sgrp 12815  df-mnd 12825  df-grp 12887  df-minusg 12888  df-mgp 13142  df-ur 13154  df-ring 13192  df-subrg 13351

This theorem is referenced by:  rlmlmod  13561