Theorem ltlenmkv 14903

Description: If < can be expressed as holding exactly when <_ holds and the values are not equal, then the analytic Markov's Principle applies. (To get the regular Markov's Principle, combine with neapmkv 14901). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltlenmkv	|- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem ltlenmkv

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z e. RR )
2	1	recnd 7988	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z e. CC )
3	2	abscld 11192	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) e. RR )
4	2	absge0d 11195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` z ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z =/= 0 )
6	2, 5	absne0d 11198	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) =/= 0 )
7		breq2 4009	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( 0 < y <-> 0 < ( abs ` z ) ) )
8		breq2 4009	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( 0 <_ y <-> 0 <_ ( abs ` z ) ) )
9		neeq1 2360	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( y =/= 0 <-> ( abs ` z ) =/= 0 ) )
10	8, 9	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) )
11	7, 10	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) <-> ( 0 < ( abs ` z ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) ) )
12		breq1 4008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( x < y <-> 0 < y ) )
13		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( x <_ y <-> 0 <_ y ) )
14		neeq2 2361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( y =/= x <-> y =/= 0 ) )
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( ( x <_ y /\ y =/= x ) <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) )
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) <-> ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) ) )
17	16	ralbidv 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) <-> A. y e. RR ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) ) )
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) )
19		0red 7960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 e. RR )
20	17, 18, 19	rspcdva 2848	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> A. y e. RR ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) )
21	11, 20, 3	rspcdva 2848	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( 0 < ( abs ` z ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) )
22	4, 6, 21	mpbir2and 944	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 < ( abs ` z ) )
23	3, 22	gt0ap0d 8588	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) # 0 )
24		abs00ap 11073	. . . . . . 7 |- ( z e. CC -> ( ( abs ` z ) # 0 <-> z # 0 ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( ( abs ` z ) # 0 <-> z # 0 ) )
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z # 0 )
27	26	ex 115	. . . 4 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) -> ( z =/= 0 -> z # 0 ) )
28	27	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. z e. RR ( z =/= 0 -> z # 0 ) )
29		neeq1 2360	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z =/= 0 <-> x =/= 0 ) )
30		breq1 4008	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z # 0 <-> x # 0 ) )
31	29, 30	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = x -> ( ( z =/= 0 -> z # 0 ) <-> ( x =/= 0 -> x # 0 ) ) )
32	31	cbvralv 2705	. . 3 |- ( A. z e. RR ( z =/= 0 -> z # 0 ) <-> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
33	28, 32	sylib 122	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
34		neap0mkv 14902	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) <-> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
35	33, 34	sylibr 134	1 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   class class class wbr 4005   ` cfv 5218   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   < clt 7994   <_ cle 7995   # cap 8540   abscabs 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010

This theorem is referenced by: (None)