Theorem ltlenmkv 15059

Description: If < can be expressed as holding exactly when <_ holds and the values are not equal, then the analytic Markov's Principle applies. (To get the regular Markov's Principle, combine with neapmkv 15057). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltlenmkv	|- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem ltlenmkv

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z e. RR )
2	1	recnd 7999	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z e. CC )
3	2	abscld 11203	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) e. RR )
4	2	absge0d 11206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` z ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z =/= 0 )
6	2, 5	absne0d 11209	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) =/= 0 )
7		breq2 4019	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( 0 < y <-> 0 < ( abs ` z ) ) )
8		breq2 4019	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( 0 <_ y <-> 0 <_ ( abs ` z ) ) )
9		neeq1 2370	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( y =/= 0 <-> ( abs ` z ) =/= 0 ) )
10	8, 9	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) )
11	7, 10	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) <-> ( 0 < ( abs ` z ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) ) )
12		breq1 4018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( x < y <-> 0 < y ) )
13		breq1 4018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( x <_ y <-> 0 <_ y ) )
14		neeq2 2371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( y =/= x <-> y =/= 0 ) )
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( ( x <_ y /\ y =/= x ) <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) )
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) <-> ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) ) )
17	16	ralbidv 2487	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) <-> A. y e. RR ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) ) )
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) )
19		0red 7971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 e. RR )
20	17, 18, 19	rspcdva 2858	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> A. y e. RR ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) )
21	11, 20, 3	rspcdva 2858	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( 0 < ( abs ` z ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) )
22	4, 6, 21	mpbir2and 945	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 < ( abs ` z ) )
23	3, 22	gt0ap0d 8599	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) # 0 )
24		abs00ap 11084	. . . . . . 7 |- ( z e. CC -> ( ( abs ` z ) # 0 <-> z # 0 ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( ( abs ` z ) # 0 <-> z # 0 ) )
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z # 0 )
27	26	ex 115	. . . 4 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) -> ( z =/= 0 -> z # 0 ) )
28	27	ralrimiva 2560	. . 3 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. z e. RR ( z =/= 0 -> z # 0 ) )
29		neeq1 2370	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z =/= 0 <-> x =/= 0 ) )
30		breq1 4018	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z # 0 <-> x # 0 ) )
31	29, 30	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = x -> ( ( z =/= 0 -> z # 0 ) <-> ( x =/= 0 -> x # 0 ) ) )
32	31	cbvralv 2715	. . 3 |- ( A. z e. RR ( z =/= 0 -> z # 0 ) <-> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
33	28, 32	sylib 122	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
34		neap0mkv 15058	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) <-> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
35	33, 34	sylibr 134	1 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   =/= wne 2357   A.wral 2465   class class class wbr 4015   ` cfv 5228   CCcc 7822   RRcr 7823   0cc0 7824   < clt 8005   <_ cle 8006   # cap 8551   abscabs 11019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-rp 9667  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021

This theorem is referenced by: (None)