Theorem ltlenmkv 17327

Description: If < can be expressed as holding exactly when <_ holds and the values are not equal, then the analytic Markov's Principle applies. (To get the regular Markov's Principle, combine with neapmkv 17325). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltlenmkv	|- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem ltlenmkv

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z e. RR )
2	1	recnd 8360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z e. CC )
3	2	abscld 11970	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) e. RR )
4	2	absge0d 11973	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` z ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z =/= 0 )
6	2, 5	absne0d 11976	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) =/= 0 )
7		breq2 4135	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( 0 < y <-> 0 < ( abs ` z ) ) )
8		breq2 4135	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( 0 <_ y <-> 0 <_ ( abs ` z ) ) )
9		neeq1 2433	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( y =/= 0 <-> ( abs ` z ) =/= 0 ) )
10	8, 9	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) )
11	7, 10	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) <-> ( 0 < ( abs ` z ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) ) )
12		breq1 4134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( x < y <-> 0 < y ) )
13		breq1 4134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( x <_ y <-> 0 <_ y ) )
14		neeq2 2434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( y =/= x <-> y =/= 0 ) )
15	13, 14	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( ( x <_ y /\ y =/= x ) <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) )
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) <-> ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) ) )
17	16	ralbidv 2550	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) <-> A. y e. RR ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) ) )
18		simpll 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) )
19		0red 8333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 e. RR )
20	17, 18, 19	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> A. y e. RR ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) )
21	11, 20, 3	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( 0 < ( abs ` z ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) )
22	4, 6, 21	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 < ( abs ` z ) )
23	3, 22	gt0ap0d 8965	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) # 0 )
24		abs00ap 11850	. . . . . . 7 |- ( z e. CC -> ( ( abs ` z ) # 0 <-> z # 0 ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( ( abs ` z ) # 0 <-> z # 0 ) )
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z # 0 )
27	26	ex 115	. . . 4 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) -> ( z =/= 0 -> z # 0 ) )
28	27	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. z e. RR ( z =/= 0 -> z # 0 ) )
29		neeq1 2433	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z =/= 0 <-> x =/= 0 ) )
30		breq1 4134	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z # 0 <-> x # 0 ) )
31	29, 30	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = x -> ( ( z =/= 0 -> z # 0 ) <-> ( x =/= 0 -> x # 0 ) ) )
32	31	cbvralv 2786	. . 3 |- ( A. z e. RR ( z =/= 0 -> z # 0 ) <-> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
33	28, 32	sylib 122	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
34		neap0mkv 17326	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) <-> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
35	33, 34	sylibr 134	1 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366   <_ cle 8367   # cap 8917   abscabs 11785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787

This theorem is used by: (None)