Theorem ltlenmkv 16046

Description: If < can be expressed as holding exactly when <_ holds and the values are not equal, then the analytic Markov's Principle applies. (To get the regular Markov's Principle, combine with neapmkv 16044). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltlenmkv	|- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem ltlenmkv

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z e. RR )
2	1	recnd 8103	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z e. CC )
3	2	abscld 11525	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) e. RR )
4	2	absge0d 11528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` z ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z =/= 0 )
6	2, 5	absne0d 11531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) =/= 0 )
7		breq2 4049	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( 0 < y <-> 0 < ( abs ` z ) ) )
8		breq2 4049	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( 0 <_ y <-> 0 <_ ( abs ` z ) ) )
9		neeq1 2389	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( y =/= 0 <-> ( abs ` z ) =/= 0 ) )
10	8, 9	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) )
11	7, 10	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) <-> ( 0 < ( abs ` z ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) ) )
12		breq1 4048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( x < y <-> 0 < y ) )
13		breq1 4048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( x <_ y <-> 0 <_ y ) )
14		neeq2 2390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( y =/= x <-> y =/= 0 ) )
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( ( x <_ y /\ y =/= x ) <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) )
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) <-> ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) ) )
17	16	ralbidv 2506	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) <-> A. y e. RR ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) ) )
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) )
19		0red 8075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 e. RR )
20	17, 18, 19	rspcdva 2882	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> A. y e. RR ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) )
21	11, 20, 3	rspcdva 2882	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( 0 < ( abs ` z ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) )
22	4, 6, 21	mpbir2and 947	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 < ( abs ` z ) )
23	3, 22	gt0ap0d 8704	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) # 0 )
24		abs00ap 11406	. . . . . . 7 |- ( z e. CC -> ( ( abs ` z ) # 0 <-> z # 0 ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( ( abs ` z ) # 0 <-> z # 0 ) )
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z # 0 )
27	26	ex 115	. . . 4 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) -> ( z =/= 0 -> z # 0 ) )
28	27	ralrimiva 2579	. . 3 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. z e. RR ( z =/= 0 -> z # 0 ) )
29		neeq1 2389	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z =/= 0 <-> x =/= 0 ) )
30		breq1 4048	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z # 0 <-> x # 0 ) )
31	29, 30	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = x -> ( ( z =/= 0 -> z # 0 ) <-> ( x =/= 0 -> x # 0 ) ) )
32	31	cbvralv 2738	. . 3 |- ( A. z e. RR ( z =/= 0 -> z # 0 ) <-> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
33	28, 32	sylib 122	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
34		neap0mkv 16045	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) <-> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
35	33, 34	sylibr 134	1 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   A.wral 2484   class class class wbr 4045   ` cfv 5272   CCcc 7925   RRcr 7926   0cc0 7927   < clt 8109   <_ cle 8110   # cap 8656   abscabs 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-rp 9778  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343

This theorem is referenced by: (None)