Theorem ltlenmkv 15216

Description: If < can be expressed as holding exactly when <_ holds and the values are not equal, then the analytic Markov's Principle applies. (To get the regular Markov's Principle, combine with neapmkv 15214). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltlenmkv	|- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem ltlenmkv

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z e. RR )
2	1	recnd 8004	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z e. CC )
3	2	abscld 11208	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) e. RR )
4	2	absge0d 11211	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` z ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z =/= 0 )
6	2, 5	absne0d 11214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) =/= 0 )
7		breq2 4022	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( 0 < y <-> 0 < ( abs ` z ) ) )
8		breq2 4022	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( 0 <_ y <-> 0 <_ ( abs ` z ) ) )
9		neeq1 2373	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( y =/= 0 <-> ( abs ` z ) =/= 0 ) )
10	8, 9	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) )
11	7, 10	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( abs ` z ) -> ( ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) <-> ( 0 < ( abs ` z ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) ) )
12		breq1 4021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( x < y <-> 0 < y ) )
13		breq1 4021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( x <_ y <-> 0 <_ y ) )
14		neeq2 2374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( y =/= x <-> y =/= 0 ) )
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( ( x <_ y /\ y =/= x ) <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) )
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) <-> ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) ) )
17	16	ralbidv 2490	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) <-> A. y e. RR ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) ) )
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) )
19		0red 7976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 e. RR )
20	17, 18, 19	rspcdva 2861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> A. y e. RR ( 0 < y <-> ( 0 <_ y /\ y =/= 0 ) ) )
21	11, 20, 3	rspcdva 2861	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( 0 < ( abs ` z ) <-> ( 0 <_ ( abs ` z ) /\ ( abs ` z ) =/= 0 ) ) )
22	4, 6, 21	mpbir2and 946	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> 0 < ( abs ` z ) )
23	3, 22	gt0ap0d 8604	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` z ) # 0 )
24		abs00ap 11089	. . . . . . 7 |- ( z e. CC -> ( ( abs ` z ) # 0 <-> z # 0 ) )
25	2, 24	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> ( ( abs ` z ) # 0 <-> z # 0 ) )
26	23, 25	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) /\ z =/= 0 ) -> z # 0 )
27	26	ex 115	. . . 4 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) /\ z e. RR ) -> ( z =/= 0 -> z # 0 ) )
28	27	ralrimiva 2563	. . 3 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. z e. RR ( z =/= 0 -> z # 0 ) )
29		neeq1 2373	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z =/= 0 <-> x =/= 0 ) )
30		breq1 4021	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z # 0 <-> x # 0 ) )
31	29, 30	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = x -> ( ( z =/= 0 -> z # 0 ) <-> ( x =/= 0 -> x # 0 ) ) )
32	31	cbvralv 2718	. . 3 |- ( A. z e. RR ( z =/= 0 -> z # 0 ) <-> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
33	28, 32	sylib 122	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
34		neap0mkv 15215	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) <-> A. x e. RR ( x =/= 0 -> x # 0 ) )
35	33, 34	sylibr 134	1 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   A.wral 2468   class class class wbr 4018   ` cfv 5231   CCcc 7827   RRcr 7828   0cc0 7829   < clt 8010   <_ cle 8011   # cap 8556   abscabs 11024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-rp 9672  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026

This theorem is referenced by: (None)