Theorem supfz 16784

Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
supfz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)

Proof of Theorem supfz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2	1	zred 9645	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4	3	zred 9645	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5	2, 4	lttri3d 8337	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ 𝑦 < 𝑥)))
6		eluzelz 9808	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		eluzfz2 10310	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
8		elfzle2 10306	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ≤ 𝑁)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑧 ≤ 𝑁)
10		elfzelz 10303	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
11	10	zred 9645	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℝ)
12	6	zred 9645	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		lenlt 8298	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑧))
14	11, 12, 13	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑧))
15	9, 14	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝑧)
16	5, 6, 7, 15	supmaxti 7246	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  supcsup 7224  ℝcr 8074   < clt 8257   ≤ cle 8258  ℤcz 9522  ℤ_≥cuz 9798  ...cfz 10286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-apti 8190

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-neg 8396  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287

This theorem is referenced by: (None)