Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supfz GIF version

Theorem supfz 12625
Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
supfz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)

Proof of Theorem supfz
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 499 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
21zred 8967 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 simprr 500 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
43zred 8967 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
52, 4lttri3d 7696 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ 𝑦 < 𝑥)))
6 eluzelz 9127 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7 eluzfz2 9595 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
8 elfzle2 9591 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧𝑁)
98adantl 272 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑧𝑁)
10 elfzelz 9589 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
1110zred 8967 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℝ)
126zred 8967 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
13 lenlt 7658 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑧𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑧))
1411, 12, 13syl2anr 285 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑧))
159, 14mpbid 146 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝑧)
165, 6, 7, 15supmaxti 6779 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1296  wcel 1445   class class class wbr 3867  cfv 5049  (class class class)co 5690  supcsup 6757  cr 7446   < clt 7619  cle 7620  cz 8848  cuz 9118  ...cfz 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-apti 7557
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sup 6759  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-neg 7753  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator