Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supfz GIF version

Theorem supfz 13411
 Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
supfz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)

Proof of Theorem supfz
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 521 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
21zred 9193 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 simprr 522 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
43zred 9193 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
52, 4lttri3d 7898 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ 𝑦 < 𝑥)))
6 eluzelz 9355 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7 eluzfz2 9839 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
8 elfzle2 9835 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧𝑁)
98adantl 275 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑧𝑁)
10 elfzelz 9833 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
1110zred 9193 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℝ)
126zred 9193 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
13 lenlt 7860 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑧𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑧))
1411, 12, 13syl2anr 288 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑧))
159, 14mpbid 146 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝑧)
165, 6, 7, 15supmaxti 6895 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3933  ‘cfv 5127  (class class class)co 5778  supcsup 6873  ℝcr 7639   < clt 7820   ≤ cle 7821  ℤcz 9074  ℤ≥cuz 9346  ...cfz 9817 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-apti 7755 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-sup 6875  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-neg 7956  df-z 9075  df-uz 9347  df-fz 9818 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator