Theorem eluzfz2 10419

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9914	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9919	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10406	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 425	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   ZZcz 9627   ZZ>=cuz 9904   ...cfz 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-pre-ltirr 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-neg 8494  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10420  elfzubelfz  10423  fzopth  10450  fzsuc  10458  fseq1p1m1  10484  fzm1  10490  fzneuz  10491  fzoend  10623  exfzdc  10642  uzsinds  10864  seq3clss  10891  seq3fveq2  10895  seqfveq2g  10897  seq3shft2  10901  seqshft2g  10902  monoord  10905  monoord2  10906  seq3split  10908  seqsplitg  10909  seq3caopr3  10911  seqcaopr3g  10912  seq3f1olemp  10935  seqf1oglem2a  10938  seqf1oglem1  10939  seqf1oglem2  10940  seq3id3  10944  seq3id2  10946  seqhomog  10950  seqfeq4g  10951  ser3ge0  10956  seq3coll  11277  wrdeqs1cat  11475  pfxccatin12lem2  11486  pfxccatin12lem3  11487  summodclem2a  12131  fsumm1  12166  telfsumo  12216  telfsumo2  12217  fsumparts  12220  prodfap0  12295  prodfrecap  12296  prodmodclem2a  12326  fprodm1  12348  eulerthlemrprm  12990  eulerthlema  12991  ballotfilemfc0  13215  ballotfilemfcc  13216  ballotfilemfrci  13254  nninfdclemlt  13325  gzsumval2  13697  gzsumconst  14126  gzsumsplit0  14131  gsump1  14140  supfz  17095