Theorem eluzfz2 10126

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9629	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9634	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10114	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 421	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ZZcz 9345   ZZ>=cuz 9620   ...cfz 10102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-ltirr 8010

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-neg 8219  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10127  elfzubelfz  10130  fzopth  10155  fzsuc  10163  fseq1p1m1  10188  fzm1  10194  fzneuz  10195  fzoend  10317  exfzdc  10335  uzsinds  10555  seq3clss  10582  seq3fveq2  10586  seqfveq2g  10588  seq3shft2  10592  seqshft2g  10593  monoord  10596  monoord2  10597  seq3split  10599  seqsplitg  10600  seq3caopr3  10602  seqcaopr3g  10603  seq3f1olemp  10626  seqf1oglem2a  10629  seqf1oglem1  10630  seqf1oglem2  10631  seq3id3  10635  seq3id2  10637  seqhomog  10641  seqfeq4g  10642  ser3ge0  10647  seq3coll  10953  summodclem2a  11565  fsumm1  11600  telfsumo  11650  telfsumo2  11651  fsumparts  11654  prodfap0  11729  prodfrecap  11730  prodmodclem2a  11760  fprodm1  11782  eulerthlemrprm  12424  eulerthlema  12425  nninfdclemlt  12695  gsumval2  13101  gsumfzz  13199  gsumfzconst  13549  gsumfzfsumlemm  14221  supfz  15828