Theorem eluzfz2 10310

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9808	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9813	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10298	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 421	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   ...cfz 10286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-neg 8396  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10311  elfzubelfz  10314  fzopth  10339  fzsuc  10347  fseq1p1m1  10372  fzm1  10378  fzneuz  10379  fzoend  10511  exfzdc  10530  uzsinds  10750  seq3clss  10777  seq3fveq2  10781  seqfveq2g  10783  seq3shft2  10787  seqshft2g  10788  monoord  10791  monoord2  10792  seq3split  10794  seqsplitg  10795  seq3caopr3  10797  seqcaopr3g  10798  seq3f1olemp  10821  seqf1oglem2a  10824  seqf1oglem1  10825  seqf1oglem2  10826  seq3id3  10830  seq3id2  10832  seqhomog  10836  seqfeq4g  10837  ser3ge0  10842  seq3coll  11150  wrdeqs1cat  11348  pfxccatin12lem2  11359  pfxccatin12lem3  11360  summodclem2a  12003  fsumm1  12038  telfsumo  12088  telfsumo2  12089  fsumparts  12092  prodfap0  12167  prodfrecap  12168  prodmodclem2a  12198  fprodm1  12220  eulerthlemrprm  12862  eulerthlema  12863  nninfdclemlt  13133  gsumval2  13541  gsumfzz  13639  gsumfzconst  13989  gsumsplit0  13994  gsumfzfsumlemm  14663  supfz  16784  gfsump1  16795