Theorem eluzfz2 10386

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9881	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9886	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10373	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 421	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-neg 8463  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10387  elfzubelfz  10390  fzopth  10416  fzsuc  10424  fseq1p1m1  10450  fzm1  10456  fzneuz  10457  fzoend  10589  exfzdc  10608  uzsinds  10830  seq3clss  10857  seq3fveq2  10861  seqfveq2g  10863  seq3shft2  10867  seqshft2g  10868  monoord  10871  monoord2  10872  seq3split  10874  seqsplitg  10875  seq3caopr3  10877  seqcaopr3g  10878  seq3f1olemp  10901  seqf1oglem2a  10904  seqf1oglem1  10905  seqf1oglem2  10906  seq3id3  10910  seq3id2  10912  seqhomog  10916  seqfeq4g  10917  ser3ge0  10922  seq3coll  11239  wrdeqs1cat  11437  pfxccatin12lem2  11448  pfxccatin12lem3  11449  summodclem2a  12092  fsumm1  12127  telfsumo  12177  telfsumo2  12178  fsumparts  12181  prodfap0  12256  prodfrecap  12257  prodmodclem2a  12287  fprodm1  12309  eulerthlemrprm  12951  eulerthlema  12952  ballotfilemfc0  13176  ballotfilemfcc  13177  ballotfilemfrci  13215  nninfdclemlt  13286  gsumval2  13694  gsumfzz  13792  gsumfzconst  14142  gsumsplit0  14147  gsumfzfsumlemm  14847  supfz  16969  gfsump1  16980