Theorem eluzfz2 10031

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9536	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9541	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10019	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 421	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   ...cfz 10007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-pre-ltirr 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-neg 8130  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10032  elfzubelfz  10035  fzopth  10060  fzsuc  10068  fseq1p1m1  10093  fzm1  10099  fzneuz  10100  fzoend  10221  exfzdc  10239  uzsinds  10441  seq3clss  10466  seq3fveq2  10468  seq3shft2  10472  monoord  10475  monoord2  10476  seq3split  10478  seq3caopr3  10480  seq3f1olemp  10501  seq3id3  10506  seq3id2  10508  ser3ge0  10516  seq3coll  10821  summodclem2a  11388  fsumm1  11423  telfsumo  11473  telfsumo2  11474  fsumparts  11477  prodfap0  11552  prodfrecap  11553  prodmodclem2a  11583  fprodm1  11605  eulerthlemrprm  12228  eulerthlema  12229  nninfdclemlt  12451  supfz  14788