Theorem eluzfz2 10365

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9862	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9867	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10353	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 421	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852   ...cfz 10341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-pre-ltirr 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-neg 8446  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10366  elfzubelfz  10369  fzopth  10394  fzsuc  10402  fseq1p1m1  10427  fzm1  10433  fzneuz  10434  fzoend  10566  exfzdc  10585  uzsinds  10805  seq3clss  10832  seq3fveq2  10836  seqfveq2g  10838  seq3shft2  10842  seqshft2g  10843  monoord  10846  monoord2  10847  seq3split  10849  seqsplitg  10850  seq3caopr3  10852  seqcaopr3g  10853  seq3f1olemp  10876  seqf1oglem2a  10879  seqf1oglem1  10880  seqf1oglem2  10881  seq3id3  10885  seq3id2  10887  seqhomog  10891  seqfeq4g  10892  ser3ge0  10897  seq3coll  11210  wrdeqs1cat  11408  pfxccatin12lem2  11419  pfxccatin12lem3  11420  summodclem2a  12063  fsumm1  12098  telfsumo  12148  telfsumo2  12149  fsumparts  12152  prodfap0  12227  prodfrecap  12228  prodmodclem2a  12258  fprodm1  12280  eulerthlemrprm  12922  eulerthlema  12923  nninfdclemlt  13194  gsumval2  13602  gsumfzz  13700  gsumfzconst  14050  gsumsplit0  14055  gsumfzfsumlemm  14727  supfz  16848  gfsump1  16859