Theorem eluzfz2 10390

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9885	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9890	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10377	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 421	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   ZZcz 9598   ZZ>=cuz 9875   ...cfz 10365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-pre-ltirr 8256

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-neg 8465  df-z 9599  df-uz 9876  df-fz 10366

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10391  elfzubelfz  10394  fzopth  10420  fzsuc  10428  fseq1p1m1  10454  fzm1  10460  fzneuz  10461  fzoend  10593  exfzdc  10612  uzsinds  10834  seq3clss  10861  seq3fveq2  10865  seqfveq2g  10867  seq3shft2  10871  seqshft2g  10872  monoord  10875  monoord2  10876  seq3split  10878  seqsplitg  10879  seq3caopr3  10881  seqcaopr3g  10882  seq3f1olemp  10905  seqf1oglem2a  10908  seqf1oglem1  10909  seqf1oglem2  10910  seq3id3  10914  seq3id2  10916  seqhomog  10920  seqfeq4g  10921  ser3ge0  10926  seq3coll  11243  wrdeqs1cat  11441  pfxccatin12lem2  11452  pfxccatin12lem3  11453  summodclem2a  12097  fsumm1  12132  telfsumo  12182  telfsumo2  12183  fsumparts  12186  prodfap0  12261  prodfrecap  12262  prodmodclem2a  12292  fprodm1  12314  eulerthlemrprm  12956  eulerthlema  12957  ballotfilemfc0  13181  ballotfilemfcc  13182  ballotfilemfrci  13220  nninfdclemlt  13291  gsumval2  13665  gsumfzz  13755  gsumfzconst  14099  gsumsplit0  14104  gfsump1  14113  gsumfzfsumlemm  14866  supfz  16997