Theorem eluzfz2 10389

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9884	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9889	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10376	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 421	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ZZcz 9597   ZZ>=cuz 9874   ...cfz 10364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-neg 8464  df-z 9598  df-uz 9875  df-fz 10365

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10390  elfzubelfz  10393  fzopth  10419  fzsuc  10427  fseq1p1m1  10453  fzm1  10459  fzneuz  10460  fzoend  10592  exfzdc  10611  uzsinds  10833  seq3clss  10860  seq3fveq2  10864  seqfveq2g  10866  seq3shft2  10870  seqshft2g  10871  monoord  10874  monoord2  10875  seq3split  10877  seqsplitg  10878  seq3caopr3  10880  seqcaopr3g  10881  seq3f1olemp  10904  seqf1oglem2a  10907  seqf1oglem1  10908  seqf1oglem2  10909  seq3id3  10913  seq3id2  10915  seqhomog  10919  seqfeq4g  10920  ser3ge0  10925  seq3coll  11242  wrdeqs1cat  11440  pfxccatin12lem2  11451  pfxccatin12lem3  11452  summodclem2a  12096  fsumm1  12131  telfsumo  12181  telfsumo2  12182  fsumparts  12185  prodfap0  12260  prodfrecap  12261  prodmodclem2a  12291  fprodm1  12313  eulerthlemrprm  12955  eulerthlema  12956  ballotfilemfc0  13180  ballotfilemfcc  13181  ballotfilemfrci  13219  nninfdclemlt  13290  gsumval2  13664  gsumfzz  13754  gsumfzconst  14098  gsumsplit0  14103  gfsump1  14112  gsumfzfsumlemm  14865  supfz  16996