Theorem eluzfz2 10124

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9627	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9632	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10112	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 421	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-ltirr 8008

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-neg 8217  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10125  elfzubelfz  10128  fzopth  10153  fzsuc  10161  fseq1p1m1  10186  fzm1  10192  fzneuz  10193  fzoend  10315  exfzdc  10333  uzsinds  10553  seq3clss  10580  seq3fveq2  10584  seqfveq2g  10586  seq3shft2  10590  seqshft2g  10591  monoord  10594  monoord2  10595  seq3split  10597  seqsplitg  10598  seq3caopr3  10600  seqcaopr3g  10601  seq3f1olemp  10624  seqf1oglem2a  10627  seqf1oglem1  10628  seqf1oglem2  10629  seq3id3  10633  seq3id2  10635  seqhomog  10639  seqfeq4g  10640  ser3ge0  10645  seq3coll  10951  summodclem2a  11563  fsumm1  11598  telfsumo  11648  telfsumo2  11649  fsumparts  11652  prodfap0  11727  prodfrecap  11728  prodmodclem2a  11758  fprodm1  11780  eulerthlemrprm  12422  eulerthlema  12423  nninfdclemlt  12693  gsumval2  13099  gsumfzz  13197  gsumfzconst  13547  gsumfzfsumlemm  14219  supfz  15802