Theorem eluzfz2 10454

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9948	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9953	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10441	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 425	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ZZcz 9656   ZZ>=cuz 9938   ...cfz 10429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-pre-ltirr 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-neg 8508  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430

This theorem is used by:  eluzfz2b  10455  elfzubelfz  10458  fzopth  10485  fzsuc  10493  fseq1p1m1  10519  fzm1  10525  fzneuz  10526  fzoend  10658  exfzdc  10677  uzsinds  10903  seq3clss  10930  seq3fveq2  10934  seqfveq2g  10936  seq3shft2  10940  seqshft2g  10941  monoord  10944  monoord2  10945  seq3split  10947  seqsplitg  10948  seq3caopr3  10950  seqcaopr3g  10951  seq3f1olemp  10974  seqf1oglem2a  10977  seqf1oglem1  10978  seqf1oglem2  10979  seq3id3  10983  seq3id2  10985  seqhomog  10989  seqfeq4g  10990  ser3ge0  10995  seq3coll  11317  wrdeqs1cat  11515  pfxccatin12lem2  11526  pfxccatin12lem3  11527  summodclem2a  12174  fsumm1  12209  telfsumo  12259  telfsumo2  12260  fsumparts  12263  prodfap0  12338  prodfrecap  12339  prodmodclem2a  12369  fprodm1  12391  eulerthlemrprm  13037  eulerthlema  13038  ballotfilemfc0  13291  ballotfilemfcc  13292  ballotfilemfrci  13330  nninfdclemlt  13401  gzsumval2  13774  gzsumconst  14234  gzsumsplit0  14239  gsump1  14248  chtqub  16308  supfz  17340