Theorem eluzfz2 10260

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9758	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9763	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10248	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 421	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   ZZcz 9472   ZZ>=cuz 9748   ...cfz 10236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-pre-ltirr 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-neg 8346  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10261  elfzubelfz  10264  fzopth  10289  fzsuc  10297  fseq1p1m1  10322  fzm1  10328  fzneuz  10329  fzoend  10460  exfzdc  10479  uzsinds  10699  seq3clss  10726  seq3fveq2  10730  seqfveq2g  10732  seq3shft2  10736  seqshft2g  10737  monoord  10740  monoord2  10741  seq3split  10743  seqsplitg  10744  seq3caopr3  10746  seqcaopr3g  10747  seq3f1olemp  10770  seqf1oglem2a  10773  seqf1oglem1  10774  seqf1oglem2  10775  seq3id3  10779  seq3id2  10781  seqhomog  10785  seqfeq4g  10786  ser3ge0  10791  seq3coll  11099  wrdeqs1cat  11294  pfxccatin12lem2  11305  pfxccatin12lem3  11306  summodclem2a  11935  fsumm1  11970  telfsumo  12020  telfsumo2  12021  fsumparts  12024  prodfap0  12099  prodfrecap  12100  prodmodclem2a  12130  fprodm1  12152  eulerthlemrprm  12794  eulerthlema  12795  nninfdclemlt  13065  gsumval2  13473  gsumfzz  13571  gsumfzconst  13921  gsumfzfsumlemm  14594  supfz  16625