Theorem eluzfz2 10438

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9933	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9938	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10425	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 425	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ZZcz 9646   ZZ>=cuz 9923   ...cfz 10413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-neg 8500  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414

This theorem is used by:  eluzfz2b  10439  elfzubelfz  10442  fzopth  10469  fzsuc  10477  fseq1p1m1  10503  fzm1  10509  fzneuz  10510  fzoend  10642  exfzdc  10661  uzsinds  10883  seq3clss  10910  seq3fveq2  10914  seqfveq2g  10916  seq3shft2  10920  seqshft2g  10921  monoord  10924  monoord2  10925  seq3split  10927  seqsplitg  10928  seq3caopr3  10930  seqcaopr3g  10931  seq3f1olemp  10954  seqf1oglem2a  10957  seqf1oglem1  10958  seqf1oglem2  10959  seq3id3  10963  seq3id2  10965  seqhomog  10969  seqfeq4g  10970  ser3ge0  10975  seq3coll  11296  wrdeqs1cat  11494  pfxccatin12lem2  11505  pfxccatin12lem3  11506  summodclem2a  12150  fsumm1  12185  telfsumo  12235  telfsumo2  12236  fsumparts  12239  prodfap0  12314  prodfrecap  12315  prodmodclem2a  12345  fprodm1  12367  eulerthlemrprm  13009  eulerthlema  13010  ballotfilemfc0  13234  ballotfilemfcc  13235  ballotfilemfrci  13273  nninfdclemlt  13344  gzsumval2  13716  gzsumconst  14145  gzsumsplit0  14150  gsump1  14159  supfz  17133