Theorem eluzfz2 10101

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9604	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 9609	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 10089	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 421	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10102  elfzubelfz  10105  fzopth  10130  fzsuc  10138  fseq1p1m1  10163  fzm1  10169  fzneuz  10170  fzoend  10292  exfzdc  10310  uzsinds  10518  seq3clss  10545  seq3fveq2  10549  seqfveq2g  10551  seq3shft2  10555  seqshft2g  10556  monoord  10559  monoord2  10560  seq3split  10562  seqsplitg  10563  seq3caopr3  10565  seqcaopr3g  10566  seq3f1olemp  10589  seqf1oglem2a  10592  seqf1oglem1  10593  seqf1oglem2  10594  seq3id3  10598  seq3id2  10600  seqhomog  10604  seqfeq4g  10605  ser3ge0  10610  seq3coll  10916  summodclem2a  11527  fsumm1  11562  telfsumo  11612  telfsumo2  11613  fsumparts  11616  prodfap0  11691  prodfrecap  11692  prodmodclem2a  11722  fprodm1  11744  eulerthlemrprm  12370  eulerthlema  12371  nninfdclemlt  12611  gsumval2  12983  gsumfzz  13070  gsumfzconst  13414  gsumfzfsumlemm  14086  supfz  15631