Theorem suppssfvg 6462

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	|- ( ph -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
suppssfv.f	|- ( ph -> ( F ` Y ) = Z )
suppssfv.v	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. V )
suppssfv.y	|- ( ph -> Y e. U )
suppssfvg.d	|- ( ph -> D e. W )

Assertion

Ref	Expression
suppssfvg	|- ( ph -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )

Distinct variable groups:   ph, x   x, D   x, Y   x, Z

Allowed substitution hints:   A( x)   U( x)   F( x)   L( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem suppssfvg

Dummy variables y f i z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssfvg.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. W )
2	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> D e. W )
3	2	elexd 2826	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> D e. _V )
4		df-supp 6435	. . . . . . 7 |- supp = ( f e. _V , z e. _V |-> { i e. dom f | ( f " { i } ) =/= { z } } )
5	4	elmpocl2 6250	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) -> Z e. _V )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> Z e. _V )
7		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> ph )
8		eldifsni 3821	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) -> ( F ` A ) =/= Z )
9		suppssfv.v	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. V )
10	9	elexd 2826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. _V )
11	10	ad4ant23 515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( F ` A ) =/= Z ) -> A e. _V )
12		suppssfv.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` Y ) = Z )
13		fveqeq2 5678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = Y -> ( ( F ` A ) = Z <-> ( F ` Y ) = Z ) )
14	12, 13	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A = Y -> ( F ` A ) = Z ) )
15	14	necon3d 2456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( F ` A ) =/= Z -> A =/= Y ) )
16	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` A ) =/= Z -> A =/= Y ) )
17	16	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( F ` A ) =/= Z ) -> A =/= Y )
18		eldifsn 3819	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( _V \ { Y } ) <-> ( A e. _V /\ A =/= Y ) )
19	11, 17, 18	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( F ` A ) =/= Z ) -> A e. ( _V \ { Y } ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` A ) =/= Z -> A e. ( _V \ { Y } ) ) )
21	8, 20	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) -> A e. ( _V \ { Y } ) ) )
22	21	ss2rabdv 3318	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> { x e. D | ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) } C_ { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } )
23		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( x e. D |-> ( F ` A ) ) = ( x e. D |-> ( F ` A ) )
24		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> D e. _V )
25		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Z e. _V )
26	23, 24, 25	mptsuppdifd 6454	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) = { x e. D | ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) } )
27		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( x e. D |-> A ) = ( x e. D |-> A )
28		suppssfv.y	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. U )
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Y e. U )
30	27, 24, 29	mptsuppdifd 6454	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) = { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } )
31	22, 26, 30	3sstr4d 3282	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) )
32		suppssfv.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
33	32	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
34	31, 33	sstrd 3247	. . . . 5 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )
35	3, 6, 7, 34	syl21anc 1273	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )
36		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) )
37	35, 36	sseldd 3238	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> y e. L )
38	37	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) -> y e. L ) )
39	38	ssrdv 3243	1 |- ( ph -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   {crab 2524   _Vcvv 2812   \ cdif 3207   C_ wss 3210   {csn 3688   |-> cmpt 4170   dom cdm 4748   "cima 4751   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   supp csupp 6434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-supp 6435

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