Theorem suppssfvg 6497

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	|- ( ph -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
suppssfv.f	|- ( ph -> ( F ` Y ) = Z )
suppssfv.v	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. V )
suppssfv.y	|- ( ph -> Y e. U )
suppssfvg.d	|- ( ph -> D e. W )

Assertion

Ref	Expression
suppssfvg	|- ( ph -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )

Distinct variable groups:   ph, x   x, D   x, Y   x, Z

Allowed substitution hints:   A( x)   U( x)   F( x)   L( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem suppssfvg

Dummy variables y f i z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssfvg.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. W )
2	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> D e. W )
3	2	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> D e. _V )
4		df-supp 6470	. . . . . . 7 |- supp = ( f e. _V , z e. _V |-> { i e. dom f | ( f " { i } ) =/= { z } } )
5	4	elmpocl2 6280	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) -> Z e. _V )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> Z e. _V )
7		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> ph )
8		eldifsni 3841	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) -> ( F ` A ) =/= Z )
9		suppssfv.v	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. V )
10	9	elexd 2835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. _V )
11	10	ad4ant23 519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( F ` A ) =/= Z ) -> A e. _V )
12		suppssfv.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` Y ) = Z )
13		fveqeq2 5702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = Y -> ( ( F ` A ) = Z <-> ( F ` Y ) = Z ) )
14	12, 13	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A = Y -> ( F ` A ) = Z ) )
15	14	necon3d 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( F ` A ) =/= Z -> A =/= Y ) )
16	15	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` A ) =/= Z -> A =/= Y ) )
17	16	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( F ` A ) =/= Z ) -> A =/= Y )
18		eldifsn 3839	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( _V \ { Y } ) <-> ( A e. _V /\ A =/= Y ) )
19	11, 17, 18	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( F ` A ) =/= Z ) -> A e. ( _V \ { Y } ) )
20	19	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` A ) =/= Z -> A e. ( _V \ { Y } ) ) )
21	8, 20	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) -> A e. ( _V \ { Y } ) ) )
22	21	ss2rabdv 3329	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> { x e. D | ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) } C_ { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } )
23		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( x e. D |-> ( F ` A ) ) = ( x e. D |-> ( F ` A ) )
24		simpll 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> D e. _V )
25		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Z e. _V )
26	23, 24, 25	mptsuppdifd 6489	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) = { x e. D | ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) } )
27		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( x e. D |-> A ) = ( x e. D |-> A )
28		suppssfv.y	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. U )
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Y e. U )
30	27, 24, 29	mptsuppdifd 6489	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) = { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } )
31	22, 26, 30	3sstr4d 3293	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) )
32		suppssfv.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
33	32	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
34	31, 33	sstrd 3258	. . . . 5 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )
35	3, 6, 7, 34	syl21anc 1277	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )
36		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) )
37	35, 36	sseldd 3249	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) ) -> y e. L )
38	37	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( y e. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) -> y e. L ) )
39	38	ssrdv 3254	1 |- ( ph -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   {csn 3708   |-> cmpt 4190   dom cdm 4772   "cima 4775   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   supp csupp 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-supp 6470

This theorem is referenced by: (None)