Theorem suppssfvg 6441

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
suppssfvg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
suppssfvg	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem suppssfvg

Dummy variables 𝑦 𝑓 𝑖 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssfvg.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝐷 ∈ 𝑊)
3	2	elexd 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝐷 ∈ V)
4		df-supp 6414	. . . . . . 7 ⊢ supp = (𝑓 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ {𝑖 ∈ dom 𝑓 ∣ (𝑓 “ {𝑖}) ≠ {𝑧}})
5	4	elmpocl2 6229	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝑍 ∈ V)
7		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝜑)
8		eldifsni 3806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍)
9		suppssfv.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10	9	elexd 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
11	10	ad4ant23 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
12		suppssfv.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
13		fveqeq2 5657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = 𝑍))
14	12, 13	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = 𝑍))
15	14	necon3d 2447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
16	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
17	16	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ≠ 𝑌)
18		eldifsn 3804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
19	11, 17, 18	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
20	19	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
21	8, 20	syl5 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
22	21	ss2rabdv 3309	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
23		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴))
24		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
25		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
26	23, 24, 25	mptsuppdifd 6433	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})})
27		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
28		suppssfv.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑈)
30	27, 24, 29	mptsuppdifd 6433	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
31	22, 26, 30	3sstr4d 3273	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
32		suppssfv.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
33	32	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
34	31, 33	sstrd 3238	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
35	3, 6, 7, 34	syl21anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
36		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍))
37	35, 36	sseldd 3229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝑦 ∈ 𝐿)
38	37	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) → 𝑦 ∈ 𝐿))
39	38	ssrdv 3234	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  {crab 2515  Vcvv 2803   ∖ cdif 3198   ⊆ wss 3201  {csn 3673   ↦ cmpt 4155  dom cdm 4731   “ cima 4734  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   supp csupp 6413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-supp 6414

This theorem is referenced by: (None)