Theorem suppssfvg 6497

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
suppssfvg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
suppssfvg	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem suppssfvg

Dummy variables 𝑦 𝑓 𝑖 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssfvg.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝐷 ∈ 𝑊)
3	2	elexd 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝐷 ∈ V)
4		df-supp 6470	. . . . . . 7 ⊢ supp = (𝑓 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ {𝑖 ∈ dom 𝑓 ∣ (𝑓 “ {𝑖}) ≠ {𝑧}})
5	4	elmpocl2 6280	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝑍 ∈ V)
7		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝜑)
8		eldifsni 3841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍)
9		suppssfv.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10	9	elexd 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
11	10	ad4ant23 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
12		suppssfv.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
13		fveqeq2 5702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = 𝑍))
14	12, 13	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = 𝑍))
15	14	necon3d 2464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
16	15	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
17	16	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ≠ 𝑌)
18		eldifsn 3839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
19	11, 17, 18	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
20	19	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
21	8, 20	syl5 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
22	21	ss2rabdv 3329	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
23		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴))
24		simpll 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
25		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
26	23, 24, 25	mptsuppdifd 6489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})})
27		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
28		suppssfv.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑈)
30	27, 24, 29	mptsuppdifd 6489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
31	22, 26, 30	3sstr4d 3293	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
32		suppssfv.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
33	32	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
34	31, 33	sstrd 3258	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
35	3, 6, 7, 34	syl21anc 1277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
36		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍))
37	35, 36	sseldd 3249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍)) → 𝑦 ∈ 𝐿)
38	37	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) → 𝑦 ∈ 𝐿))
39	38	ssrdv 3254	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  {crab 2532  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  {csn 3708   ↦ cmpt 4190  dom cdm 4772   “ cima 4775  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   supp csupp 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-supp 6470

This theorem is referenced by: (None)