Theorem suprleubex 8736

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
suprubex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprlubex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
suprleubex	⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprleubex

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 7868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2	1	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3		suprubex.ex	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supclti 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5		suprlubex.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	lenltd 7904	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < )))
7		suprubex.ss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
8	3, 7, 5	suprnubex 8735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧))
9	6, 8	bitrd 187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧))
10		breq2 3941	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝐵 < 𝑤 ↔ 𝐵 < 𝑧))
11	10	notbid 657	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (¬ 𝐵 < 𝑤 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑧))
12	11	cbvralv 2657	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑧)
13	9, 12	syl6bbr 197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑤))
14	7	sselda 3102	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
15	5	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	14, 15	lenltd 7904	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑤))
17	16	ralbidva 2434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑤))
18	13, 17	bitr4d 190	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝐵))
19		breq1 3940	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝐵 ↔ 𝑧 ≤ 𝐵))
20	19	cbvralv 2657	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
21	18, 20	syl6bb 195	1 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3076   class class class wbr 3937  supcsup 6877  ℝcr 7643   < clt 7824   ≤ cle 7825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-riota 5738  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830

This theorem is referenced by:  suprzclex  9173  suplociccex  12811