Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrcllemsucfn GIF version

Theorem tfrcllemsucfn 6216
 Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrcl 6227. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcllemsucfn.1 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥𝑋 (𝑓:𝑥𝑆 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))}
tfrcllemsucfn.3 (𝜑𝑧𝑋)
tfrcllemsucfn.4 (𝜑𝑔:𝑧𝑆)
tfrcllemsucfn.5 (𝜑𝑔𝐴)
Assertion
Ref Expression
tfrcllemsucfn (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥   𝑧,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem tfrcllemsucfn
StepHypRef Expression
1 tfrcllemsucfn.4 . . 3 (𝜑𝑔:𝑧𝑆)
2 tfrcllemsucfn.3 . . . 4 (𝜑𝑧𝑋)
32elexd 2671 . . 3 (𝜑𝑧 ∈ V)
4 tfrcl.x . . . . 5 (𝜑 → Ord 𝑋)
5 ordelon 4273 . . . . 5 ((Ord 𝑋𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ On)
64, 2, 5syl2anc 406 . . . 4 (𝜑𝑧 ∈ On)
7 eloni 4265 . . . 4 (𝑧 ∈ On → Ord 𝑧)
8 ordirr 4425 . . . 4 (Ord 𝑧 → ¬ 𝑧𝑧)
96, 7, 83syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑧𝑧)
10 feq2 5224 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓:𝑥𝑆𝑓:𝑧𝑆))
1110imbi1d 230 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
1211albidv 1778 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
13 tfrcl.ex . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
14133expia 1166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1514alrimiv 1828 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1615ralrimiva 2480 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1712, 16, 2rspcdva 2766 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
18 feq1 5223 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝑧𝑆𝑔:𝑧𝑆))
19 fveq2 5387 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → (𝐺𝑓) = (𝐺𝑔))
2019eleq1d 2184 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → ((𝐺𝑓) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑔) ∈ 𝑆))
2118, 20imbi12d 233 . . . . 5 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑔:𝑧𝑆 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆)))
2221spv 1814 . . . 4 (∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) → (𝑔:𝑧𝑆 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆))
2317, 1, 22sylc 62 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆)
24 fsnunf 5586 . . 3 ((𝑔:𝑧𝑆 ∧ (𝑧 ∈ V ∧ ¬ 𝑧𝑧) ∧ (𝐺𝑔) ∈ 𝑆) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
251, 3, 9, 23, 24syl121anc 1204 . 2 (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
26 df-suc 4261 . . 3 suc 𝑧 = (𝑧 ∪ {𝑧})
2726feq2i 5234 . 2 ((𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆 ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
2825, 27sylibr 133 1 (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 945  ∀wal 1312   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  {cab 2101  ∀wral 2391  ∃wrex 2392  Vcvv 2658   ∪ cun 3037  {csn 3495  ⟨cop 3498  Ord word 4252  Oncon0 4253  suc csuc 4255   ↾ cres 4509  Fun wfun 5085  ⟶wf 5087  ‘cfv 5091  recscrecs 6167 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-setind 4420 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099 This theorem is referenced by:  tfrcllemsucaccv  6217  tfrcllembfn  6220
 Copyright terms: Public domain W3C validator