Theorem tfrcllemsucfn 6408

Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrcl 6419. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x	⊢ (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓:𝑥⟶𝑆) → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcllemsucfn.1	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:𝑥⟶𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)))}
tfrcllemsucfn.3	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝑋)
tfrcllemsucfn.4	⊢ (𝜑 → 𝑔:𝑧⟶𝑆)
tfrcllemsucfn.5	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemsucfn	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):suc 𝑧⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥   𝑧,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem tfrcllemsucfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcllemsucfn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑔:𝑧⟶𝑆)
2		tfrcllemsucfn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝑋)
3	2	elexd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V)
4		tfrcl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ord 𝑋)
5		ordelon 4415	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ On)
6	4, 2, 5	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ On)
7		eloni 4407	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ On → Ord 𝑧)
8		ordirr 4575	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑧 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑧)
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑧)
10		feq2 5388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓:𝑥⟶𝑆 ↔ 𝑓:𝑧⟶𝑆))
11	10	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓:𝑥⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑓:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆)))
12	11	albidv 1835	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑓(𝑓:𝑥⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆)))
13		tfrcl.ex	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓:𝑥⟶𝑆) → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆)
14	13	3expia 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓:𝑥⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆))
15	14	alrimiv 1885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑓(𝑓:𝑥⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆))
16	15	ralrimiva 2567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓(𝑓:𝑥⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆))
17	12, 16, 2	rspcdva 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓(𝑓:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆))
18		feq1 5387	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝑧⟶𝑆 ↔ 𝑔:𝑧⟶𝑆))
19		fveq2 5555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝐺‘𝑓) = (𝐺‘𝑔))
20	19	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘𝑔) ∈ 𝑆))
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑔:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑔) ∈ 𝑆)))
22	21	spv 1871	. . . 4 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆) → (𝑔:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑔) ∈ 𝑆))
23	17, 1, 22	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑔) ∈ 𝑆)
24		fsnunf 5759	. . 3 ⊢ ((𝑔:𝑧⟶𝑆 ∧ (𝑧 ∈ V ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑧) ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ 𝑆) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
25	1, 3, 9, 23, 24	syl121anc 1254	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
26		df-suc 4403	. . 3 ⊢ suc 𝑧 = (𝑧 ∪ {𝑧})
27	26	feq2i 5398	. 2 ⊢ ((𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):suc 𝑧⟶𝑆 ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
28	25, 27	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):suc 𝑧⟶𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  Vcvv 2760   ∪ cun 3152  {csn 3619  ⟨cop 3622  Ord word 4394  Oncon0 4395  suc csuc 4397   ↾ cres 4662  Fun wfun 5249  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  recscrecs 6359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  tfrcllemsucaccv  6409  tfrcllembfn  6412