ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrcllemsucfn GIF version

Theorem tfrcllemsucfn 6297
Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrcl 6308. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcllemsucfn.1 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥𝑋 (𝑓:𝑥𝑆 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))}
tfrcllemsucfn.3 (𝜑𝑧𝑋)
tfrcllemsucfn.4 (𝜑𝑔:𝑧𝑆)
tfrcllemsucfn.5 (𝜑𝑔𝐴)
Assertion
Ref Expression
tfrcllemsucfn (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥   𝑧,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem tfrcllemsucfn
StepHypRef Expression
1 tfrcllemsucfn.4 . . 3 (𝜑𝑔:𝑧𝑆)
2 tfrcllemsucfn.3 . . . 4 (𝜑𝑧𝑋)
32elexd 2725 . . 3 (𝜑𝑧 ∈ V)
4 tfrcl.x . . . . 5 (𝜑 → Ord 𝑋)
5 ordelon 4343 . . . . 5 ((Ord 𝑋𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ On)
64, 2, 5syl2anc 409 . . . 4 (𝜑𝑧 ∈ On)
7 eloni 4335 . . . 4 (𝑧 ∈ On → Ord 𝑧)
8 ordirr 4500 . . . 4 (Ord 𝑧 → ¬ 𝑧𝑧)
96, 7, 83syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑧𝑧)
10 feq2 5302 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓:𝑥𝑆𝑓:𝑧𝑆))
1110imbi1d 230 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
1211albidv 1804 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
13 tfrcl.ex . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
14133expia 1187 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1514alrimiv 1854 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1615ralrimiva 2530 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1712, 16, 2rspcdva 2821 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
18 feq1 5301 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝑧𝑆𝑔:𝑧𝑆))
19 fveq2 5467 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → (𝐺𝑓) = (𝐺𝑔))
2019eleq1d 2226 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → ((𝐺𝑓) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑔) ∈ 𝑆))
2118, 20imbi12d 233 . . . . 5 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑔:𝑧𝑆 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆)))
2221spv 1840 . . . 4 (∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) → (𝑔:𝑧𝑆 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆))
2317, 1, 22sylc 62 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆)
24 fsnunf 5666 . . 3 ((𝑔:𝑧𝑆 ∧ (𝑧 ∈ V ∧ ¬ 𝑧𝑧) ∧ (𝐺𝑔) ∈ 𝑆) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
251, 3, 9, 23, 24syl121anc 1225 . 2 (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
26 df-suc 4331 . . 3 suc 𝑧 = (𝑧 ∪ {𝑧})
2726feq2i 5312 . 2 ((𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆 ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
2825, 27sylibr 133 1 (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  w3a 963  wal 1333   = wceq 1335  wcel 2128  {cab 2143  wral 2435  wrex 2436  Vcvv 2712  cun 3100  {csn 3560  cop 3563  Ord word 4322  Oncon0 4323  suc csuc 4325  cres 4587  Fun wfun 5163  wf 5165  cfv 5169  recscrecs 6248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4495
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177
This theorem is referenced by:  tfrcllemsucaccv  6298  tfrcllembfn  6301
  Copyright terms: Public domain W3C validator