ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrcllemsucfn GIF version

Theorem tfrcllemsucfn 6050
Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrcl 6061. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcllemsucfn.1 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥𝑋 (𝑓:𝑥𝑆 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))}
tfrcllemsucfn.3 (𝜑𝑧𝑋)
tfrcllemsucfn.4 (𝜑𝑔:𝑧𝑆)
tfrcllemsucfn.5 (𝜑𝑔𝐴)
Assertion
Ref Expression
tfrcllemsucfn (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥   𝑧,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem tfrcllemsucfn
StepHypRef Expression
1 tfrcllemsucfn.4 . . 3 (𝜑𝑔:𝑧𝑆)
2 tfrcllemsucfn.3 . . . 4 (𝜑𝑧𝑋)
32elexd 2623 . . 3 (𝜑𝑧 ∈ V)
4 tfrcl.x . . . . 5 (𝜑 → Ord 𝑋)
5 ordelon 4174 . . . . 5 ((Ord 𝑋𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ On)
64, 2, 5syl2anc 403 . . . 4 (𝜑𝑧 ∈ On)
7 eloni 4166 . . . 4 (𝑧 ∈ On → Ord 𝑧)
8 ordirr 4321 . . . 4 (Ord 𝑧 → ¬ 𝑧𝑧)
96, 7, 83syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑧𝑧)
10 feq2 5099 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓:𝑥𝑆𝑓:𝑧𝑆))
1110imbi1d 229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
1211albidv 1747 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
13 tfrcl.ex . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
14133expia 1141 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1514alrimiv 1797 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1615ralrimiva 2440 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1712, 16, 2rspcdva 2717 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
18 feq1 5098 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝑧𝑆𝑔:𝑧𝑆))
19 fveq2 5253 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → (𝐺𝑓) = (𝐺𝑔))
2019eleq1d 2151 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → ((𝐺𝑓) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑔) ∈ 𝑆))
2118, 20imbi12d 232 . . . . 5 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑔:𝑧𝑆 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆)))
2221spv 1783 . . . 4 (∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) → (𝑔:𝑧𝑆 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆))
2317, 1, 22sylc 61 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆)
24 fsnunf 5438 . . 3 ((𝑔:𝑧𝑆 ∧ (𝑧 ∈ V ∧ ¬ 𝑧𝑧) ∧ (𝐺𝑔) ∈ 𝑆) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
251, 3, 9, 23, 24syl121anc 1175 . 2 (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
26 df-suc 4162 . . 3 suc 𝑧 = (𝑧 ∪ {𝑧})
2726feq2i 5108 . 2 ((𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆 ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
2825, 27sylibr 132 1 (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  w3a 920  wal 1283   = wceq 1285  wcel 1434  {cab 2069  wral 2353  wrex 2354  Vcvv 2612  cun 2982  {csn 3422  cop 3425  Ord word 4153  Oncon0 4154  suc csuc 4156  cres 4403  Fun wfun 4963  wf 4965  cfv 4969  recscrecs 6001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-setind 4316
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977
This theorem is referenced by:  tfrcllemsucaccv  6051  tfrcllembfn  6054
  Copyright terms: Public domain W3C validator