ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrcllemsucfn GIF version

Theorem tfrcllemsucfn 6332
Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrcl 6343. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcllemsucfn.1 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥𝑋 (𝑓:𝑥𝑆 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))}
tfrcllemsucfn.3 (𝜑𝑧𝑋)
tfrcllemsucfn.4 (𝜑𝑔:𝑧𝑆)
tfrcllemsucfn.5 (𝜑𝑔𝐴)
Assertion
Ref Expression
tfrcllemsucfn (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥   𝑧,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem tfrcllemsucfn
StepHypRef Expression
1 tfrcllemsucfn.4 . . 3 (𝜑𝑔:𝑧𝑆)
2 tfrcllemsucfn.3 . . . 4 (𝜑𝑧𝑋)
32elexd 2743 . . 3 (𝜑𝑧 ∈ V)
4 tfrcl.x . . . . 5 (𝜑 → Ord 𝑋)
5 ordelon 4368 . . . . 5 ((Ord 𝑋𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ On)
64, 2, 5syl2anc 409 . . . 4 (𝜑𝑧 ∈ On)
7 eloni 4360 . . . 4 (𝑧 ∈ On → Ord 𝑧)
8 ordirr 4526 . . . 4 (Ord 𝑧 → ¬ 𝑧𝑧)
96, 7, 83syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑧𝑧)
10 feq2 5331 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓:𝑥𝑆𝑓:𝑧𝑆))
1110imbi1d 230 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
1211albidv 1817 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
13 tfrcl.ex . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
14133expia 1200 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1514alrimiv 1867 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1615ralrimiva 2543 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
1712, 16, 2rspcdva 2839 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
18 feq1 5330 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝑧𝑆𝑔:𝑧𝑆))
19 fveq2 5496 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → (𝐺𝑓) = (𝐺𝑔))
2019eleq1d 2239 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → ((𝐺𝑓) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑔) ∈ 𝑆))
2118, 20imbi12d 233 . . . . 5 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑔:𝑧𝑆 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆)))
2221spv 1853 . . . 4 (∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) → (𝑔:𝑧𝑆 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆))
2317, 1, 22sylc 62 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆)
24 fsnunf 5696 . . 3 ((𝑔:𝑧𝑆 ∧ (𝑧 ∈ V ∧ ¬ 𝑧𝑧) ∧ (𝐺𝑔) ∈ 𝑆) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
251, 3, 9, 23, 24syl121anc 1238 . 2 (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
26 df-suc 4356 . . 3 suc 𝑧 = (𝑧 ∪ {𝑧})
2726feq2i 5341 . 2 ((𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆 ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
2825, 27sylibr 133 1 (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  w3a 973  wal 1346   = wceq 1348  wcel 2141  {cab 2156  wral 2448  wrex 2449  Vcvv 2730  cun 3119  {csn 3583  cop 3586  Ord word 4347  Oncon0 4348  suc csuc 4350  cres 4613  Fun wfun 5192  wf 5194  cfv 5198  recscrecs 6283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206
This theorem is referenced by:  tfrcllemsucaccv  6333  tfrcllembfn  6336
  Copyright terms: Public domain W3C validator