Theorem tfrcllemsucfn 6321

Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrcl 6332. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x	⊢ (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓:𝑥⟶𝑆) → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcllemsucfn.1	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:𝑥⟶𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝐺‘(𝑓 ↾ 𝑦)))}
tfrcllemsucfn.3	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝑋)
tfrcllemsucfn.4	⊢ (𝜑 → 𝑔:𝑧⟶𝑆)
tfrcllemsucfn.5	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemsucfn	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):suc 𝑧⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥   𝑧,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem tfrcllemsucfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcllemsucfn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑔:𝑧⟶𝑆)
2		tfrcllemsucfn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝑋)
3	2	elexd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V)
4		tfrcl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ord 𝑋)
5		ordelon 4361	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ On)
6	4, 2, 5	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ On)
7		eloni 4353	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ On → Ord 𝑧)
8		ordirr 4519	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑧 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑧)
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑧)
10		feq2 5321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓:𝑥⟶𝑆 ↔ 𝑓:𝑧⟶𝑆))
11	10	imbi1d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓:𝑥⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑓:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆)))
12	11	albidv 1812	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑓(𝑓:𝑥⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆)))
13		tfrcl.ex	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓:𝑥⟶𝑆) → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆)
14	13	3expia 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓:𝑥⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆))
15	14	alrimiv 1862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑓(𝑓:𝑥⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆))
16	15	ralrimiva 2539	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓(𝑓:𝑥⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆))
17	12, 16, 2	rspcdva 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓(𝑓:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆))
18		feq1 5320	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝑧⟶𝑆 ↔ 𝑔:𝑧⟶𝑆))
19		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝐺‘𝑓) = (𝐺‘𝑔))
20	19	eleq1d 2235	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘𝑔) ∈ 𝑆))
21	18, 20	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑔:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑔) ∈ 𝑆)))
22	21	spv 1848	. . . 4 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑓) ∈ 𝑆) → (𝑔:𝑧⟶𝑆 → (𝐺‘𝑔) ∈ 𝑆))
23	17, 1, 22	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑔) ∈ 𝑆)
24		fsnunf 5685	. . 3 ⊢ ((𝑔:𝑧⟶𝑆 ∧ (𝑧 ∈ V ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑧) ∧ (𝐺‘𝑔) ∈ 𝑆) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
25	1, 3, 9, 23, 24	syl121anc 1233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
26		df-suc 4349	. . 3 ⊢ suc 𝑧 = (𝑧 ∪ {𝑧})
27	26	feq2i 5331	. 2 ⊢ ((𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):suc 𝑧⟶𝑆 ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):(𝑧 ∪ {𝑧})⟶𝑆)
28	25, 27	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺‘𝑔)⟩}):suc 𝑧⟶𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 968  ∀wal 1341   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {cab 2151  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  Vcvv 2726   ∪ cun 3114  {csn 3576  ⟨cop 3579  Ord word 4340  Oncon0 4341  suc csuc 4343   ↾ cres 4606  Fun wfun 5182  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  recscrecs 6272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  tfrcllemsucaccv  6322  tfrcllembfn  6325