Theorem tgvalex 13210

Description: The topology generated by a basis is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tgvalex	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem tgvalex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 13209	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)})
2		inss1 3401	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ 𝐵
3	2	unissi 3887	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ∪ 𝐵
4		sstr 3209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ∪ 𝐵) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵)
5	3, 4	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵)
6	5	ss2abi 3273	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵}
7		df-pw 3628	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∪ 𝐵 = {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵}
8	6, 7	sseqtrri 3236	. . 3 ⊢ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ 𝒫 ∪ 𝐵
9		uniexg 4504	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐵 ∈ V)
10	9	pwexd 4241	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝒫 ∪ 𝐵 ∈ V)
11		ssexg 4199	. . 3 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ 𝒫 ∪ 𝐵 ∧ 𝒫 ∪ 𝐵 ∈ V) → {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ∈ V)
12	8, 10, 11	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ∈ V)
13	1, 12	eqeltrd 2284	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  {cab 2193  Vcvv 2776   ∩ cin 3173   ⊆ wss 3174  𝒫 cpw 3626  ∪ cuni 3864  ‘cfv 5290  topGenctg 13201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-topgen 13207

This theorem is referenced by:  ptex  13211  mopnset  14429  tgcl  14651  tgidm  14661  tgss3  14665  2basgeng  14669  tgrest  14756  txvalex  14841  txval  14842  txbasval  14854