Theorem tgvalex 12219

Description: The topology generated by a basis is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tgvalex	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem tgvalex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 12218	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)})
2		inss1 3296	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ 𝐵
3	2	unissi 3759	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ∪ 𝐵
4		sstr 3105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ∪ 𝐵) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵)
5	3, 4	mpan2 421	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵)
6	5	ss2abi 3169	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵}
7		df-pw 3512	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∪ 𝐵 = {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵}
8	6, 7	sseqtrri 3132	. . 3 ⊢ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ 𝒫 ∪ 𝐵
9		uniexg 4361	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐵 ∈ V)
10	9	pwexd 4105	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝒫 ∪ 𝐵 ∈ V)
11		ssexg 4067	. . 3 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ 𝒫 ∪ 𝐵 ∧ 𝒫 ∪ 𝐵 ∈ V) → {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ∈ V)
12	8, 10, 11	sylancr 410	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ∈ V)
13	1, 12	eqeltrd 2216	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  {cab 2125  Vcvv 2686   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  𝒫 cpw 3510  ∪ cuni 3736  ‘cfv 5123  topGenctg 12135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12141

This theorem is referenced by:  tgcl  12233  tgidm  12243  tgss3  12247  2basgeng  12251  tgrest  12338  txvalex  12423  txval  12424  txbasval  12436