ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgvalex GIF version

Theorem tgvalex 12256
Description: The topology generated by a basis is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
tgvalex (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem tgvalex
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval 12255 . 2 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑦𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)})
2 inss1 3300 . . . . . . 7 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ 𝐵
32unissi 3766 . . . . . 6 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ 𝐵
4 sstr 3109 . . . . . 6 ((𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ∧ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ 𝐵) → 𝑦 𝐵)
53, 4mpan2 422 . . . . 5 (𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) → 𝑦 𝐵)
65ss2abi 3173 . . . 4 {𝑦𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ {𝑦𝑦 𝐵}
7 df-pw 3516 . . . 4 𝒫 𝐵 = {𝑦𝑦 𝐵}
86, 7sseqtrri 3136 . . 3 {𝑦𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ 𝒫 𝐵
9 uniexg 4368 . . . 4 (𝐵𝑉 𝐵 ∈ V)
109pwexd 4112 . . 3 (𝐵𝑉 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
11 ssexg 4074 . . 3 (({𝑦𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ∈ V) → {𝑦𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ∈ V)
128, 10, 11sylancr 411 . 2 (𝐵𝑉 → {𝑦𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ∈ V)
131, 12eqeltrd 2217 1 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1481  {cab 2126  Vcvv 2689  cin 3074  wss 3075  𝒫 cpw 3514   cuni 3743  cfv 5130  topGenctg 12172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-topgen 12178
This theorem is referenced by:  tgcl  12270  tgidm  12280  tgss3  12284  2basgeng  12288  tgrest  12375  txvalex  12460  txval  12461  txbasval  12473
  Copyright terms: Public domain W3C validator