Theorem tgvalex 12690

Description: The topology generated by a basis is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tgvalex	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem tgvalex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 12689	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)})
2		inss1 3342	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ 𝐵
3	2	unissi 3812	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ∪ 𝐵
4		sstr 3150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ ∪ 𝐵) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵)
5	3, 4	mpan2 422	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵)
6	5	ss2abi 3214	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵}
7		df-pw 3561	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∪ 𝐵 = {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ 𝐵}
8	6, 7	sseqtrri 3177	. . 3 ⊢ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ 𝒫 ∪ 𝐵
9		uniexg 4417	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐵 ∈ V)
10	9	pwexd 4160	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝒫 ∪ 𝐵 ∈ V)
11		ssexg 4121	. . 3 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ⊆ 𝒫 ∪ 𝐵 ∧ 𝒫 ∪ 𝐵 ∈ V) → {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ∈ V)
12	8, 10, 11	sylancr 411	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑦)} ∈ V)
13	1, 12	eqeltrd 2243	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  {cab 2151  Vcvv 2726   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  𝒫 cpw 3559  ∪ cuni 3789  ‘cfv 5188  topGenctg 12571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577

This theorem is referenced by:  tgcl  12704  tgidm  12714  tgss3  12718  2basgeng  12722  tgrest  12809  txvalex  12894  txval  12895  txbasval  12907