Theorem topnfn 12561

Description: The topology extractor function is a function on the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topnfn	⊢ TopOpen Fn V

Proof of Theorem topnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restfn 12560	. . 3 ⊢ ↾t Fn (V × V)
2		tsetslid 12545	. . . . 5 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 12421	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ V → (TopSet‘𝑤) ∈ V)
4	3	elv 2730	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝑤) ∈ V
5		baseslid 12450	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	slotex 12421	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ V → (Base‘𝑤) ∈ V)
7	6	elv 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑤) ∈ V
8		fnovex 5875	. . 3 ⊢ (( ↾t Fn (V × V) ∧ (TopSet‘𝑤) ∈ V ∧ (Base‘𝑤) ∈ V) → ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)) ∈ V)
9	1, 4, 7, 8	mp3an 1327	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)) ∈ V
10		df-topn 12559	. 2 ⊢ TopOpen = (𝑤 ∈ V ↦ ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)))
11	9, 10	fnmpti 5316	1 ⊢ TopOpen Fn V

Syntax hints:   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   × cxp 4602   Fn wfn 5183  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  Basecbs 12394  TopSetcts 12463   ↾_t crest 12556  TopOpenctopn 12557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400  df-tset 12476  df-rest 12558  df-topn 12559

This theorem is referenced by:  istps  12680