Theorem topnfn 12114

Description: The topology extractor function is a function on the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topnfn	⊢ TopOpen Fn V

Proof of Theorem topnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restfn 12113	. . 3 ⊢ ↾t Fn (V × V)
2		tsetslid 12098	. . . . 5 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 11975	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ V → (TopSet‘𝑤) ∈ V)
4	3	elv 2685	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝑤) ∈ V
5		baseslid 12004	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	slotex 11975	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ V → (Base‘𝑤) ∈ V)
7	6	elv 2685	. . 3 ⊢ (Base‘𝑤) ∈ V
8		fnovex 5797	. . 3 ⊢ (( ↾t Fn (V × V) ∧ (TopSet‘𝑤) ∈ V ∧ (Base‘𝑤) ∈ V) → ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)) ∈ V)
9	1, 4, 7, 8	mp3an 1315	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)) ∈ V
10		df-topn 12112	. 2 ⊢ TopOpen = (𝑤 ∈ V ↦ ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)))
11	9, 10	fnmpti 5246	1 ⊢ TopOpen Fn V

Syntax hints:   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   × cxp 4532   Fn wfn 5113  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  Basecbs 11948  TopSetcts 12016   ↾_t crest 12109  TopOpenctopn 12110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-5 8775  df-6 8776  df-7 8777  df-8 8778  df-9 8779  df-ndx 11951  df-slot 11952  df-base 11954  df-tset 12029  df-rest 12111  df-topn 12112

This theorem is referenced by:  istps  12188