Theorem topnfn 13657

Description: The topology extractor function is a function on the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topnfn	⊢ TopOpen Fn V

Proof of Theorem topnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restfn 13656	. . 3 ⊢ ↾t Fn (V × V)
2		tsetslid 13601	. . . . 5 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 13437	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ V → (TopSet‘𝑤) ∈ V)
4	3	elv 2825	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝑤) ∈ V
5		baseslid 13468	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	slotex 13437	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ V → (Base‘𝑤) ∈ V)
7	6	elv 2825	. . 3 ⊢ (Base‘𝑤) ∈ V
8		fnovex 6121	. . 3 ⊢ (( ↾t Fn (V × V) ∧ (TopSet‘𝑤) ∈ V ∧ (Base‘𝑤) ∈ V) → ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)) ∈ V)
9	1, 4, 7, 8	mp3an 1378	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)) ∈ V
10		df-topn 13655	. 2 ⊢ TopOpen = (𝑤 ∈ V ↦ ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)))
11	9, 10	fnmpti 5515	1 ⊢ TopOpen Fn V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   × cxp 4774   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410  TopSetcts 13496   ↾_t crest 13652  TopOpenctopn 13653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655

This theorem is used by:  prdsex  14279  prdsval  14280  prdsbaslemss  14281  psrval  15159  fnpsr  15160  psrbasg  15178  psrplusgg  15182  psrmulrg  15186  istps  15258