Theorem topnfn 13541

Description: The topology extractor function is a function on the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topnfn	⊢ TopOpen Fn V

Proof of Theorem topnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restfn 13540	. . 3 ⊢ ↾t Fn (V × V)
2		tsetslid 13485	. . . . 5 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 13323	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ V → (TopSet‘𝑤) ∈ V)
4	3	elv 2819	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝑤) ∈ V
5		baseslid 13354	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	slotex 13323	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ V → (Base‘𝑤) ∈ V)
7	6	elv 2819	. . 3 ⊢ (Base‘𝑤) ∈ V
8		fnovex 6091	. . 3 ⊢ (( ↾t Fn (V × V) ∧ (TopSet‘𝑤) ∈ V ∧ (Base‘𝑤) ∈ V) → ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)) ∈ V)
9	1, 4, 7, 8	mp3an 1374	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)) ∈ V
10		df-topn 13539	. 2 ⊢ TopOpen = (𝑤 ∈ V ↦ ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)))
11	9, 10	fnmpti 5492	1 ⊢ TopOpen Fn V

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   × cxp 4752   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  TopSetcts 13380   ↾_t crest 13536  TopOpenctopn 13537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-tset 13393  df-rest 13538  df-topn 13539

This theorem is referenced by:  prdsex  14114  prdsval  14115  prdsbaslemss  14116  psrval  14940  fnpsr  14941  psrbasg  14955  psrplusgg  14959  istps  15023