Theorem topnfn 13575

Description: The topology extractor function is a function on the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topnfn	⊢ TopOpen Fn V

Proof of Theorem topnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restfn 13574	. . 3 ⊢ ↾t Fn (V × V)
2		tsetslid 13519	. . . . 5 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 13357	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ V → (TopSet‘𝑤) ∈ V)
4	3	elv 2825	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝑤) ∈ V
5		baseslid 13388	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	slotex 13357	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ V → (Base‘𝑤) ∈ V)
7	6	elv 2825	. . 3 ⊢ (Base‘𝑤) ∈ V
8		fnovex 6108	. . 3 ⊢ (( ↾t Fn (V × V) ∧ (TopSet‘𝑤) ∈ V ∧ (Base‘𝑤) ∈ V) → ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)) ∈ V)
9	1, 4, 7, 8	mp3an 1378	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)) ∈ V
10		df-topn 13573	. 2 ⊢ TopOpen = (𝑤 ∈ V ↦ ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)))
11	9, 10	fnmpti 5507	1 ⊢ TopOpen Fn V

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   × cxp 4767   Fn wfn 5367  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330  TopSetcts 13414   ↾_t crest 13570  TopOpenctopn 13571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-tset 13427  df-rest 13572  df-topn 13573

This theorem is referenced by:  prdsex  14149  prdsval  14150  prdsbaslemss  14151  psrval  14973  fnpsr  14974  psrbasg  14988  psrplusgg  14992  istps  15056