Theorem fnovex 6034

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	|- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6004	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		opelxp 4749	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
3		funfvex 5644	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ <. A , B >. e. dom F ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
4	3	funfni 5423	. . . 4 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ <. A , B >. e. ( C X. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	5	3impb 1223	. 2 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2316	1 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   <.cop 3669   X. cxp 4717   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6004

This theorem is referenced by:  ovelrn  6154  mapsnen  6964  map1  6965  mapen  7007  mapdom1g  7008  mapxpen  7009  xpmapenlem  7010  fzen  10239  hashfacen  11058  wrdexg  11082  omctfn  13014  topnfn  13277  topnvalg  13284  prdsvallem  13305  prdsval  13306  ismhm  13494  mhmex  13495  rhmex  14121  fnpsr  14631  psrelbas  14639  psrplusgg  14642  psraddcl  14644  psr0cl  14645  psr0lid  14646  psrnegcl  14647  psrlinv  14648  psrgrp  14649  psr1clfi  14652  mplvalcoe  14654  mplbascoe  14655  fnmpl  14657  mplsubgfilemcl  14663  mplplusgg  14667  restbasg  14842  tgrest  14843  restco  14848  lmfval  14867  cnfval  14868  cnpfval  14869  cnpval  14872  txrest  14950  ismet  15018  isxmet  15019  xmetunirn  15032  plyval  15406  2omapen  16360  pw1mapen  16362