ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnovex Unicode version

Theorem fnovex 5770
Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fnovex  |-  ( ( F  Fn  ( C  X.  D )  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A F B )  e.  _V )

Proof of Theorem fnovex
StepHypRef Expression
1 df-ov 5743 . 2  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
2 opelxp 4537 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
)  <->  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )
3 funfvex 5404 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  <. A ,  B >.  e.  dom  F )  ->  ( F `  <. A ,  B >. )  e.  _V )
43funfni 5191 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  ( C  X.  D )  /\  <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
) )  ->  ( F `  <. A ,  B >. )  e.  _V )
52, 4sylan2br 284 . . 3  |-  ( ( F  Fn  ( C  X.  D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  ( F `  <. A ,  B >. )  e.  _V )
653impb 1160 . 2  |-  ( ( F  Fn  ( C  X.  D )  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F `  <. A ,  B >. )  e.  _V )
71, 6eqeltrid 2202 1  |-  ( ( F  Fn  ( C  X.  D )  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A F B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 945    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   <.cop 3498    X. cxp 4505    Fn wfn 5086   ` cfv 5091  (class class class)co 5740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-fv 5099  df-ov 5743
This theorem is referenced by:  ovelrn  5885  mapsnen  6671  map1  6672  mapen  6706  mapdom1g  6707  mapxpen  6708  xpmapenlem  6709  fzen  9763  hashfacen  10519  topnfn  12020  topnvalg  12027  restbasg  12232  tgrest  12233  restco  12238  lmfval  12256  cnfval  12258  cnpfval  12259  cnpval  12262  txrest  12340  ismet  12408  isxmet  12409  xmetunirn  12422
  Copyright terms: Public domain W3C validator