Theorem fnovex 6000

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	|- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5970	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		opelxp 4723	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
3		funfvex 5616	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ <. A , B >. e. dom F ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
4	3	funfni 5395	. . . 4 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ <. A , B >. e. ( C X. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	5	3impb 1202	. 2 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2294	1 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   <.cop 3646   X. cxp 4691   Fn wfn 5285   ` cfv 5290  (class class class)co 5967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970

This theorem is referenced by:  ovelrn  6118  mapsnen  6927  map1  6928  mapen  6968  mapdom1g  6969  mapxpen  6970  xpmapenlem  6971  fzen  10200  hashfacen  11018  wrdexg  11042  omctfn  12929  topnfn  13191  topnvalg  13198  prdsvallem  13219  prdsval  13220  ismhm  13408  mhmex  13409  rhmex  14034  fnpsr  14544  psrelbas  14552  psrplusgg  14555  psraddcl  14557  psr0cl  14558  psr0lid  14559  psrnegcl  14560  psrlinv  14561  psrgrp  14562  psr1clfi  14565  mplvalcoe  14567  mplbascoe  14568  fnmpl  14570  mplsubgfilemcl  14576  mplplusgg  14580  restbasg  14755  tgrest  14756  restco  14761  lmfval  14779  cnfval  14781  cnpfval  14782  cnpval  14785  txrest  14863  ismet  14931  isxmet  14932  xmetunirn  14945  plyval  15319  2omapen  16133  pw1mapen  16135