Theorem fnovex 5977

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	|- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5947	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		opelxp 4705	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
3		funfvex 5593	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ <. A , B >. e. dom F ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
4	3	funfni 5376	. . . 4 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ <. A , B >. e. ( C X. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	5	3impb 1202	. 2 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2292	1 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   <.cop 3636   X. cxp 4673   Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947

This theorem is referenced by:  ovelrn  6095  mapsnen  6903  map1  6904  mapen  6943  mapdom1g  6944  mapxpen  6945  xpmapenlem  6946  fzen  10165  hashfacen  10981  wrdexg  11005  omctfn  12814  topnfn  13076  topnvalg  13083  prdsvallem  13104  prdsval  13105  ismhm  13293  mhmex  13294  rhmex  13919  fnpsr  14429  psrelbas  14437  psrplusgg  14440  psraddcl  14442  psr0cl  14443  psr0lid  14444  psrnegcl  14445  psrlinv  14446  psrgrp  14447  psr1clfi  14450  mplvalcoe  14452  mplbascoe  14453  fnmpl  14455  mplsubgfilemcl  14461  mplplusgg  14465  restbasg  14640  tgrest  14641  restco  14646  lmfval  14664  cnfval  14666  cnpfval  14667  cnpval  14670  txrest  14748  ismet  14816  isxmet  14817  xmetunirn  14830  plyval  15204  2omapen  15937