Theorem fnovex 6051

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	|- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6021	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		opelxp 4755	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
3		funfvex 5656	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ <. A , B >. e. dom F ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
4	3	funfni 5432	. . . 4 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ <. A , B >. e. ( C X. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	5	3impb 1225	. 2 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2318	1 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   <.cop 3672   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021

This theorem is referenced by:  ovelrn  6171  mapsnen  6986  map1  6987  mapen  7032  mapdom1g  7033  mapxpen  7034  xpmapenlem  7035  fzen  10278  hashfacen  11100  wrdexg  11124  omctfn  13065  topnfn  13328  topnvalg  13335  prdsvallem  13356  prdsval  13357  ismhm  13545  mhmex  13546  rhmex  14173  fnpsr  14683  psrelbas  14691  psrplusgg  14694  psraddcl  14696  psr0cl  14697  psr0lid  14698  psrnegcl  14699  psrlinv  14700  psrgrp  14701  psr1clfi  14704  mplvalcoe  14706  mplbascoe  14707  fnmpl  14709  mplsubgfilemcl  14715  mplplusgg  14719  restbasg  14894  tgrest  14895  restco  14900  lmfval  14919  cnfval  14920  cnpfval  14921  cnpval  14924  txrest  15002  ismet  15070  isxmet  15071  xmetunirn  15084  plyval  15458  2omapen  16598  pw1mapen  16600  gfsumval  16683