Theorem fnovex 5979

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	|- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5949	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		opelxp 4706	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
3		funfvex 5595	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ <. A , B >. e. dom F ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
4	3	funfni 5377	. . . 4 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ <. A , B >. e. ( C X. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	5	3impb 1202	. 2 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2292	1 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   <.cop 3636   X. cxp 4674   Fn wfn 5267   ` cfv 5272  (class class class)co 5946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-ov 5949

This theorem is referenced by:  ovelrn  6097  mapsnen  6905  map1  6906  mapen  6945  mapdom1g  6946  mapxpen  6947  xpmapenlem  6948  fzen  10167  hashfacen  10983  wrdexg  11007  omctfn  12847  topnfn  13109  topnvalg  13116  prdsvallem  13137  prdsval  13138  ismhm  13326  mhmex  13327  rhmex  13952  fnpsr  14462  psrelbas  14470  psrplusgg  14473  psraddcl  14475  psr0cl  14476  psr0lid  14477  psrnegcl  14478  psrlinv  14479  psrgrp  14480  psr1clfi  14483  mplvalcoe  14485  mplbascoe  14486  fnmpl  14488  mplsubgfilemcl  14494  mplplusgg  14498  restbasg  14673  tgrest  14674  restco  14679  lmfval  14697  cnfval  14699  cnpfval  14700  cnpval  14703  txrest  14781  ismet  14849  isxmet  14850  xmetunirn  14863  plyval  15237  2omapen  15970