Theorem fnovex 5958

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	|- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5928	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		opelxp 4694	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
3		funfvex 5578	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ <. A , B >. e. dom F ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
4	3	funfni 5361	. . . 4 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ <. A , B >. e. ( C X. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	5	3impb 1201	. 2 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2283	1 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   <.cop 3626   X. cxp 4662   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  (class class class)co 5925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928

This theorem is referenced by:  ovelrn  6076  mapsnen  6879  map1  6880  mapen  6916  mapdom1g  6917  mapxpen  6918  xpmapenlem  6919  fzen  10135  hashfacen  10945  wrdexg  10963  omctfn  12685  topnfn  12946  topnvalg  12953  prdsvallem  12974  prdsval  12975  ismhm  13163  mhmex  13164  rhmex  13789  fnpsr  14297  psrelbas  14304  psrplusgg  14306  psraddcl  14308  psr0cl  14309  psr0lid  14310  psrnegcl  14311  psrlinv  14312  psrgrp  14313  psr1clfi  14316  restbasg  14488  tgrest  14489  restco  14494  lmfval  14512  cnfval  14514  cnpfval  14515  cnpval  14518  txrest  14596  ismet  14664  isxmet  14665  xmetunirn  14678  plyval  15052  2omapen  15727