Theorem fnovex 6040

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	|- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6010	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		opelxp 4749	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
3		funfvex 5646	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ <. A , B >. e. dom F ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
4	3	funfni 5423	. . . 4 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ <. A , B >. e. ( C X. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	5	3impb 1223	. 2 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2316	1 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   <.cop 3669   X. cxp 4717   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010

This theorem is referenced by:  ovelrn  6160  mapsnen  6972  map1  6973  mapen  7015  mapdom1g  7016  mapxpen  7017  xpmapenlem  7018  fzen  10251  hashfacen  11071  wrdexg  11095  omctfn  13030  topnfn  13293  topnvalg  13300  prdsvallem  13321  prdsval  13322  ismhm  13510  mhmex  13511  rhmex  14137  fnpsr  14647  psrelbas  14655  psrplusgg  14658  psraddcl  14660  psr0cl  14661  psr0lid  14662  psrnegcl  14663  psrlinv  14664  psrgrp  14665  psr1clfi  14668  mplvalcoe  14670  mplbascoe  14671  fnmpl  14673  mplsubgfilemcl  14679  mplplusgg  14683  restbasg  14858  tgrest  14859  restco  14864  lmfval  14883  cnfval  14884  cnpfval  14885  cnpval  14888  txrest  14966  ismet  15034  isxmet  15035  xmetunirn  15048  plyval  15422  2omapen  16447  pw1mapen  16449