Theorem fnovex 6085

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	|- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6055	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		opelxp 4781	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
3		funfvex 5689	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ <. A , B >. e. dom F ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
4	3	funfni 5460	. . . 4 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ <. A , B >. e. ( C X. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
6	5	3impb 1226	. 2 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrid 2321	1 |- ( ( F Fn ( C X. D ) /\ A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   <.cop 3694   X. cxp 4749   Fn wfn 5349   ` cfv 5354  (class class class)co 6052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055

This theorem is referenced by:  ovelrn  6205  mapsnend  7054  mapsnen  7055  map1  7056  mapen  7101  mapdom1g  7102  mapxpen  7103  xpmapenlem  7104  mapunen  7106  2omapen  7272  fzen  10380  hashfacen  11212  wrdexg  11239  omctfn  13211  topnfn  13474  topnvalg  13481  prdsvallem  13502  prdsval  13503  ismhm  13691  mhmex  13692  rhmex  14319  fnpsr  14832  psrelbas  14847  psrplusgg  14850  psraddcl  14852  psr0cl  14853  psr0lid  14854  psrnegcl  14855  psrlinv  14856  psrgrp  14857  psr1clfi  14860  mplvalcoe  14862  mplbascoe  14863  fnmpl  14865  mplsubgfilemcl  14871  mplplusgg  14875  restbasg  15050  tgrest  15051  restco  15056  lmfval  15075  cnfval  15076  cnpfval  15077  cnpval  15080  txrest  15158  ismet  15226  isxmet  15227  xmetunirn  15240  plyval  15614  pw1mapen  16787  gfsumval  16879