Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txtop GIF version

Theorem txtop 12504
 Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
txtop ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)

Proof of Theorem txtop
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2141 . . 3 ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))
21txval 12499 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3 topbas 12311 . . . 4 (𝑅 ∈ Top → 𝑅 ∈ TopBases)
4 topbas 12311 . . . 4 (𝑆 ∈ Top → 𝑆 ∈ TopBases)
51txbas 12502 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopBases ∧ 𝑆 ∈ TopBases) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
63, 4, 5syl2an 287 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
7 tgcl 12308 . . 3 (ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
86, 7syl 14 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
92, 8eqeltrd 2218 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1481   × cxp 4549  ran crn 4552  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786   ∈ cmpo 5788  topGenctg 12210  Topctop 12239  TopBasesctb 12284   ×t ctx 12496 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1738  df-eu 2004  df-mo 2005  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-id 4226  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-topgen 12216  df-top 12240  df-bases 12285  df-tx 12497 This theorem is referenced by:  txtopi  12505  txtopon  12506  neitx  12512  imasnopn  12543  limccnp2lem  12889  limccnp2cntop  12890
 Copyright terms: Public domain W3C validator