Theorem txtop 14934

Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
txtop	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)

Proof of Theorem txtop

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))
2	1	txval 14929	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3		topbas 14741	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Top → 𝑅 ∈ TopBases)
4		topbas 14741	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Top → 𝑆 ∈ TopBases)
5	1	txbas 14932	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopBases ∧ 𝑆 ∈ TopBases) → ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
7		tgcl 14738	. . 3 ⊢ (ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases → (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (topGen‘ran (𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
9	2, 8	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   × cxp 4717  ran crn 4720  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001   ∈ cmpo 6003  topGenctg 13287  Topctop 14671  TopBasesctb 14716   ×_t ctx 14926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-topgen 13293  df-top 14672  df-bases 14717  df-tx 14927

This theorem is referenced by:  txtopi  14935  txtopon  14936  neitx  14942  imasnopn  14973  limccnp2lem  15350  limccnp2cntop  15351