Theorem vscandxnbasendx 12620

Description: The slot for the scalar product is not the slot for the base set in an extensible structure. (Contributed by AV, 18-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
vscandxnbasendx	|- ( .s ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )

Proof of Theorem vscandxnbasendx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7959	. . 3 |- 1 e. RR
2		1lt6 9105	. . 3 |- 1 < 6
3	1, 2	gtneii 8056	. 2 |- 6 =/= 1
4		vscandx 12618	. . 3 |- ( .s ` ndx ) = 6
5		basendx 12520	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
6	4, 5	neeq12i 2364	. 2 |- ( ( .s ` ndx ) =/= ( Base ` ndx ) <-> 6 =/= 1 )
7	3, 6	mpbir 146	1 |- ( .s ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2347   ` cfv 5218   1c1 7815   6c6 8977   ndxcnx 12462   Basecbs 12465   .scvsca 12543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5881  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-vsca 12556

This theorem is referenced by:  ressvscag  12645  rmodislmod  13447  srabaseg  13531