Theorem xpsfrn 12769

Description: A short expression for the indexed cartesian product on two indices. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )

Assertion

Ref	Expression
xpsfrn	|- ran F = X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   B, k, x, y

Allowed substitution hints:   F( x, y, k)

Proof of Theorem xpsfrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
2	1	xpsff1o 12768	. 2 |- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B )
3		f1ofo 5469	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) -> F : ( A X. B ) -onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) )
4		forn 5442	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) -> ran F = X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) )
5	2, 3, 4	mp2b 8	1 |- ran F = X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B )

Syntax hints:   = wceq 1353   (/)c0 3423   ifcif 3535   {cpr 3594   <.cop 3596   X. cxp 4625   ran crn 4628   -onto->wfo 5215   -1-1-onto->wf1o 5216   e. cmpo 5877   1oc1o 6410   2oc2o 6411   X_cixp 6698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-ixp 6699  df-en 6741  df-fin 6743

This theorem is referenced by: (None)