Theorem xpsfrn 13584

Description: A short expression for the indexed cartesian product on two indices. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsfrn	⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem xpsfrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
2	1	xpsff1o 13583	. 2 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)
3		f1ofo 5623	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
4		forn 5595	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
5	2, 3, 4	mp2b 8	1 ⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1398  ∅c0 3510  ifcif 3622  {cpr 3692  ⟨cop 3694   × cxp 4749  ran crn 4752  –onto→wfo 5352  –1-1-onto→wf1o 5353   ∈ cmpo 6054  1_oc1o 6642  2_oc2o 6643  Xcixp 6935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-ixp 6936  df-en 6978  df-fin 6980

This theorem is referenced by: (None)